Интерполяция многочленами и сплайнами: Лабораторная работа

Лабораторная работа № 3
Тема работы:
сплайнами»
«Интерполяция
алгебраическими
многочленами
и
Цель работы:
Закрепление базовых понятий и определений по теме работы:
Понятие о задаче интерполирования данных. Определение
обобщенного интерполяционного многочлена и системы Чебышева.
Запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и Ньютона.
Формула для оценки погрешности алгебраического интерполирования.
Представление о феномене Рунге и причинах его возникновения.
Система полиномом Чебышева и их свойства. Понятие о сплайне.
Свойства сплайнов первого и третьего порядков. Алгоритм
построения кубического сплайна.
2.
Развитие практических навыков решения примеров и задач по
теме «Интерполяция алгебраическими многочленами и сплайнами»:
Программно реализовывать формулы для расчетов значений
интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и Ньютона.
Выполнять интерполяцию таблично заданной функции при помощи
многочленов в форме Лагранжа и Ньютона. Программно
реализовывать алгоритм построения кубического сплайна. Выполнять
интерполяцию таблично заданной функции при помощи кубического
сплайна.
1.
Порядок выполнения работы:
1. Студент знакомится с теоретическим материалом по теме
«Интерполяция алгебраическими многочленами и сплайнами».
2. Студент выполняет решение нижеследующих задач с использованием
программной системы автоматизации математических расчетов
MathCAD.
3. Студент оформляет решение задач в виде документа Word или
MathCAD и передает преподавателю для проверки. Отчет по
лабораторной работе должен содержать следующие материалы по
каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) ссылки на использованный при
решении теоретический материал; 3) решение каждого тестового
примера, приведение результата вычислительного эксперимента по
тесту; 4) анализ полученных результатов; 5) графический материал
(если необходимо); 6) тексты вычислительных процедур в MathCAD.
Все вычисления и представление (если не задана точность  )
результатов вести с точностью 15-ти значащих цифр.
4. Способ расчета варианта студента и его исходных данных к задачам
лабораторной работы даны после формулировки всех задач.
5. После проверки отчета преподаватель указывает на неверно решенные
задачи и передает работу студенты для исправления ошибок.
6. Лабораторная работа оценивается на «зачтено», если верно решены все
задачи.
Список заданий для лабораторной работы № 3:
Задача 4.1.
Функция y=f(x). Приблизить
f(x) на отрезке [a, b]
интерполяционными многочленами (в форме Лагранжа и Ньютона) степени
n по значениям в заданных n+1 узлах: a  x 0  x1  ...  x n  b . Оценить
погрешность приближения. Решить задачу интерполяции в заданном узле xint
и xextr . Найти абсолютную и относительную ошибку интерполяции.
Порядок решения задачи:
1. Найти
значения
функции
в
заданных
узлах ( x0 , f ( x0 )), ( x1 , f ( x1 )),..., ( xn , f ( xn )) .
Составить
программу,
возвращающую значения интерполяционного многочлена (отдельно
для формы Лагранжа Ln (x) и для формы Ньютона H n (x) ) по полученной
таблице.
2. Вывести на один чертеж графики функций f (x) , Ln (x) и H n (x) .
3. Оценить
погрешность
приближения
функции
 n ( f ( x))
интерполяционным многочленом. Для этого построить график
абсолютной ошибки  ( x)  f ( x)  Ln ( x) на отрезке [a, b] и оценить по
графику  n ( f ( x))  max  ( x) .
x[ a ,b ]
4. Вычислить значения многочлена Ньютона H n (x) в заданной точке xint .
Приняв значение многочлена Ньютона за приближенное значение
функции рассчитать абсолютную и относительную погрешность
интерполяции по сравнению с точным значением функции f (x) в этой
точке. Сделать выводы.
Задача 4.2. Функция f (x) задана на отрезке [a, b] . Построить
интерполяционные многочлены Pk (x) , k  1,2,3,4 (в форме Лагранжа или
Ньютона), по равноотстоящим узлам для различных шагов дискретизации hk .
Для каждого варианта приближения функции f (x) оценить погрешность
приближения.
Порядок решения задачи:
ba
ba
1) Для каждого значения hk , k  1,2,3,4 , где h1  b  a , h2 
, h3 
,
4
9
ba
h4 
.
16
А) Определить интерполяционные узлы a  x 0  x1  ...  x n  b , где n  k 2 ,
x i  a  hk  i , i  0..n .
В) Составить таблицу ( x0 , f ( x0 )), ( x1 , f ( x1 )),..., ( xn , f ( xn )) .
С) По таблице построить интерполяционный многочлен Pk (x) (в форме
Лагранжа или Ньютона).
2) Вывести на одном чертеже график функции f (x) и графики всех
интерполяционных многочленов Pk (x) , k  1,2,3,4 .
3) Вывести на другом чертеже графики
функций погрешностей
приближения  k ( x)  f ( x)  Pk ( x) . Графически оценить максимальные
погрешности приближения каждого многочлена в пределах заданного
отрезка [a, b] по формуле  k ( f ( x))  max  k ( x)  max f ( x)  Pk ( x) .
x[ a , b ]
x[ a ,b ]
4) Сделать выводы.
Задача 4.3. Функция f (x) задана на отрезке [a, b] . Выполняется приближение
функции интерполяционными многочленами Pn (x) (в форме Лагранжа или
Ньютона) по различным системам узлов ( x0 , f ( x0 )), ( x1 , f ( x1 )),..., ( xn , f ( xn )) , где
a  x 0  x1  ...  x n  b . Известно, что наименьшую погрешность приближения
 n ( f ( x))  max  n ( x)  max f ( x)  Pn ( x)
можно
обеспечить,
если
узлы
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
a  x 0  x1  ...  x n  b строить по корням многочлена Чебышева степени n  1 . В
задании предлагается сравнить погрешности приближений функции f (x) на
отрезке [a, b] интерполяционными многочленами, построенными по
различным системам узлов a  x 0  x1  ...  x n  b .
Порядок выполнения задания:
1) Построить интерполяционный многочлен Pnunif (x) по равноотстоящим
узлам a  x 0  x1  ...  x n  b , где xi  a 
оценить

unif
n
его
( f ( x))  max 
x[ a ,b ]
inif
n
ba
 i , i  0..n и графически
n
погрешность
( x)  max f ( x)  P
x[ a ,b ]
unif
n
приближения
( x)
2) Построить
интерполяционный многочлен
узлам
Pncheb (x) по
a  x 0  x1  ...  x n  b , определяемым при помощи корней многочлена
Чебышева степени n  1 ,
xi 
ab ba
(2  i  1)  

 cos
,
2
2
2  (n  1)
i  0..n ,
и
графически
оценить
его
cheb
( x)  max f ( x)  Pncheb ( x) .
погрешность приближения cheb
n ( f ( x ))  max  n
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
3) Построить
интерполяционный многочлен Pnrnd (x) по
узлам
a  x 0  x1  ...  x n  b , где xi - выбираются попарно различными,
случайным образом (при помощи датчика случайных чисел) на отрезке
[a, b] , и графически оценить его погрешность приближения
rnd
 n ( f ( x))  max  nrnd ( x)  max f ( x)  Pnrnd ( x) .
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
4) Сравнить полученные оценки погрешности приближения и сделать
выводы.
Задача 4.4. Функция y=f(x) задана таблицей значений y1 , y 2 ,... y n в точках
x1 , x2 ,... xn . Построить кубический сплайн по заданным узлам и с его помощью
восстановить пропущенное значение функции. На один чертеж вывести
график сплайна и точечный график функции.
Внимание!
Номер варианта, выполняемого студентом, определяется последней
цифрой его зачетки. В зависимости от номера варианта в
нижеследующей таблице студент свои конкретные исходные данные для
выполняемых задач.
ВАРИАНТЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 3
N – номер варианта студента
Таблица к задаче 4.1.
f ( x)
[a, b]
x0  x1  ...  xn
xint
sin x
[ , ]
-3<-2<-1<0<1<2<3
0.5
2
x2  x
[2, 2]
-2<-1.5<-1<-0.5<0.5<1.5<1.8
0
3
1
1 2  x
[2,2]
-1.9<-1.5<-1<-0.5<0.5<1.5<1.8
0
4
x  3  ( x 2  1)
[0,4]
0<0.5<1<1.5<2<2.5<3<3.5
2.2
5
x  1 ex
[0,2]
1
6
sin(e x )
[0.4,2.4]
7
esin(2 x )
8
3  sin( x3 )
[1,2.5]
9
x( x  4)
[5,5]
0
( x  1)  x 2  2
[0,2]
0.1<0.2<0.3<0.9<1.1<1.5<1.8<1
.9<2
0.5<0.6<0.7<0.9<1.2<1.3<1.5<2
<2.2
-3<-2.6<-1.5<0.9<0<1<1.5<1.9<2.2
1<1.2<1.5<1.7<1.9<2.1<2.3<2.4
<2.45
-5<-4.5<-4<-3.5<-3<-2.5<1<1<2<3<4
0.5<0.6<0.7<0.9<1.1<1.2<1.5<1
.8<2
Вариант
N
1
[ , ]
1
-1
2
0
1
Таблица к задаче 4.2.
Вариант N
f ( x)
[a, b]
1
1
1 2  x
[2,2]
Вариант
N
6
f ( x)
[a, b]
( x  1)  x 2  2
[0,2]
2
x  3  ( x 2  1)
[0,4]
7
sin(2 x )
[0.8,2.3]
3
x  1 ex
[0,2]
8
sin x
[ , ]
4
cos x
[0, ]
9
e x sin(5 x)
[1.5,3.5]
5
x( x  4)
[5,5]
0
cos(e x )
[1.4,2.4]
f ( x)
[a, b]
n
x( x  4)
[5,5]
7
( x  1)  x 2  2
[0,2]
9
sin(2 x )
[0.8,2.3]
8
e
Таблица к задаче 4.3.
Вариант N
f ( x)
[a, b]
n
1
x2  x
[2, 2]
7
Вариант
N
6
2
1
1 2  x
[2,2]
8
7
3
x  3  ( x 2  1)
[0,4]
7
8
4
x  1 ex
[0,2]
10
9
e x sin(5 x)
[1.5,3.5]
7
5
cos x
[0, ]
8
0
cos(e x )
[1.4,2.4]
10
e
Таблица к задаче 4.4
x
y
Вариант 1
-0
3
7
2
12
?
17
4
19
7
24
3
26
8
31
5
x
y
Вариант 6
-7
-10
3
13
9
-5
14
?
23
-20
31
-9
41
3
48
13
x
y
Вариант 2
0
-8
5
-15
8
11
11
?
12
-18
18
6
20
-16
21
-11
x
y
Вариант 7
7
-16
12
-8
20
?
25
2
33
-15
39
-6
47
0
53
-16
x
y
Вариант 3
0
-5
10
3
17
-16
22
-8
27
?
33
-19
40
-3
47
-4
x
y
Вариант 8
-1
15
4
5
5
2
9
18
11
6
15
?
19
15
20
3
x
y
Вариант 4
5
-13
6
-15
15
22
18
-19
21
-18
26
?
31
18
41
12
x
y
Вариант 9
-10
-5
-5
?
-1
-4
0
-2
5
-9
8
-7
9
-8
12
-9
x
y
Вариант 5
15
-4
19
6
29
-9
33
5
44
-8
53
16
58
?
61
17
x
y
Вариант 10
-20
1
-19
0
-16
1
-14
-4
-12
-4
-9
-1
-7
?
-5
-5