Содержание:
1. Введение………………………………………………………………………. 2
2. Основная часть……………………………………………………………… 4
2.1. Исследование № 1…………………………………………………………… 4
2.2. Исследование № 2…………………………………………………………… 4
2.3. Эксперимент по установлению вида фигур, получаемых вращением
тел Платона……………………………………………………………………. 7
3.Заключение……………………………………………………………………… 8
4. Литература……………………………………………………………………… 9
Приложение……………………………………………………………………… 10
1
1. ВВЕДЕНИЕ
В жизни мы видим много таких ситуаций, когда фигура поворачивается (вращается),
например, относительно какой-нибудь прямой или точки (центра). Самый распространенный
пример – известная игрушка: волчок, который можно вращать вокруг заданной оси (ручки).
рис.1
Дверь поворачивается вокруг своего косяка, флюгер – вокруг вертикального стержня, карусель
– вокруг столба, колесо обозрения – вокруг горизонтальной оси, лопасти вертолета или
мельницы - вокруг фиксированного центра.
рис.2
Наблюдая за вращением, я подумала: какие фигуры вращения я получу, вращая другие
пространственные тела?
2
Куб – это правильный многогранник.
Многогранники – тела, ограниченные плоскими
многоугольниками. Они окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного
здания, шкафа – параллелепипед. Среди разнообразных видов многогранников выделяют
правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), икосаэдр, додекаэдр и другие.
Правильными многогранниками занимался Платон – древнегреческий философ.
Известные тела вращения – это конус, цилиндр, шар. Они тоже окружают нас повсюду.
Четыре стихии (огонь, воздух, вода, земля) – первоосновы материального мира
виделись
Платону в виде определенного многогранника. Земля представлялась в виде куба, тетраэдр –
огня, октаэдр – воздуха, икосаэдр – воды, додекаэдр – мировой эфир. Кроме этого, Платон
занимался астрономией, изучением звездных тел. А все небесные тела вращаются. Интересно,
как выглядели бы вращающиеся тела Платона?
Исходя из этих основополагающих вопросов, я легко сформулировала проблему моего
исследования.
Проблема исследования: всегда ли при вращении тел Платона получаются известные фигуры
вращения: конус, цилиндр, шар.
Объект исследования: множество пространственных тел и фигур.
Предмет исследования: Платоновы тела.
Цель исследования:
выявить группы фигур вращения правильных многогранников (тел
Платона).
В процессе работы у меня возникла гипотеза: Если у тел Платона найти оси симметрии,
то с помощью вращения вокруг этих осей можно получить известные фигуры вращения.
Исходя из заявленной цели и гипотезы, я поставила следующие задачи исследования:
1. Изучить Платоновы тела и их свойства.
2. Экспериментальным путем апробировать вращение правильных многогранников (тел
Платона), меняя у них оси вращения.
3. Найти и выделить у тел Платона такие оси вращения, которые позволяют этим телам
«превращаться» в одинаковые фигуры вращения.
4. Определить группы фигур вращения, получаемых вращением тел Платона.
3
Этапы исследования:
Первый этап - теоретический. На этом этапе я изучала тела Платона и их свойства.
Второй этап - экспериментальный.
Он состоял из эксперимента по вращению
Платоновых тел путем выбора осей вращения правильных многогранников.
Третий этап
- заключительный. Он был посвящен обобщению результатов
эксперимента, формировались группы одинаковых фигур вращения, получаемых вращением
правильных многогранников.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
2.1. Исследование № 1. Цель: изучить, как получаются фигуры вращения.
Во время работы карусели каждая подвижная ее часть (и вместе с ней каждая ее точка),
поворачиваясь вокруг столба, двигается по окружности. При вращении волчка (рис.1,2) то же
самое: каждая его точка двигается по окружности, центр которой лежит на оси волчка.
Геометрически это означает, что при повороте вокруг прямой каждая точка фигуры
перемещается по окружности. При этом известно, что конус получается вращением
равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей его высоту, цилиндр получается
вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины противоположных
сторон, шар – вращением круга вокруг прямой, содержащей его диаметр (рис.3). При этом для
этих фигур каждая прямая является его осью симметрии.
Рис.3
Следовательно,
при выборе осей вращения для тел Платона
необходимо учитывать
симметричность.
2.2. Исследование № 2. Цель: изучить тела Платона, их свойства симметричности для выбора
осей вращения.
К Платоновым телам относятся следующие правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр,
гексаэдр (куб), икосаэдр, додекаэдр. Чтобы найти их свойства, я их изготовила с помощью
4
разверток (Приложение № 1) и способом выявления одинаковых (соразмерных) частей
многогранника находила оси симметрии.
Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его
вершина является вершиной трех треугольников. Он не имеет центра симметрии. Правильный
тетраэдр имеет следующие оси симметрии: прямая, проходящая через вершину тетраэдра с
центром противоположной грани;
прямая, проходящая через середины противоположных
ребер.
Рис.4
Гексаэдр (куб) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех
квадратов. Куб имеет один центр симметрии – точку пересечения диагоналей. Он имеет девять
осей симметрии. Все они проходят через центр симметрии. Для эксперимента выберем
следующие оси симметрии:
прямая, проходящая через
две противоположные
прямая, проходящая через
центры противоположных граней;
вершины;
прямая, проходящая через
середины двух противоположных ребер.
Рис.5
Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является
вершиной четырех треугольников. Октаэдр имеет
центр симметрии.
Для октаэдра можно
выбрать следующие оси симметрии: прямая, проходящая через две противоположные
вершины; прямая, проходящая через центры противоположных граней; прямая, проходящая
через середины двух противоположных ребер.
Рис.6
5
Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершин додекаэдра
является вершиной трех правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет
центр симметрии.
Для додекаэдра можно выбрать следующие оси симметрии: прямая, проходящая через
противоположные
вершины; прямая, проходящая через центры противоположных граней;
прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер.
Рис.7
Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершин икосаэдра
является вершиной пяти треугольников. Икосаэдр имеет центр симметрии. Для икосаэдра
можно выбрать следующие оси симметрии: прямая, проходящая через две противоположные
вершины; прямая, проходящая через центры противоположных граней; прямая, проходящая
через середины двух противоположных ребер.
Рис.8
У правильных многогранников есть одна особенность.
1. Если центры граней правильного тетраэдра считать вершинами нового многогранника, то
снова получим тетраэдр.
2. Остальные четыре многогранника разбиваются на пары: центры граней куба образуют
октаэдр, а центры октаэдра – куб. (Рис.9)
6
Рис. 9
Рис.10
То же происходит с парой додекаэдр – икосаэдр. (Рис.10)
Поэтому, у куба и икосаэдра есть общие оси симметрии: прямая, проходящая через
противоположные вершины; у икосаэдра и додекаэдра - прямая, проходящая через центры
противоположных
граней,
при
которых
получаются
одинаковые
фигуры
вращения.
Следовательно, для тетраэдра выделяем оси вращения: прямая, проходящая через вершину
тетраэдра с центром противоположной грани;
прямая, проходящая через середины
противоположных ребер. Все тела Платона, кроме тетраэдра имеют одинаковы
оси
вращения.
2.3. Эксперимент по установлению вида фигур, получаемых вращением тел Платона.
Эксперимент проводился с использованием изготовленных моделей многогранников с
помощью спиц и кухонного миксера. Результаты оформлены в таблице (Приложение № 2).
При вращении любого многогранника вокруг произвольной оси получается тело вращения,
которое может быть ограниченно только следующими поверхностями: плоскостью; конической
поверхностью; поверхностью однополостного гиперболоида.
В результате получилась дополнительная фигура – однополостной гиперболоид. Название и
определение я нашла из литературы и интернета. Гиперболоид вращения может быть получен
вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней. Это
свойство однополостного гиперболоида используется в архитектуре. В
частности, Шуховская башня в Москве является гиперболоидной
конструкцией. Она составлена именно из гиперболоидов, образованных
прямыми стержнями.
Итак,
Если прямая (образующая поверхности) перпендикулярна параллельна оси вращения, то
получается плоскость.
7
Если прямая (образующая поверхности) параллельна оси вращения, то получается
цилиндрическая поверхность.
Если прямая (образующая поверхности) пересекает ось вращения, то получается коническая
поверхность.
Если прямая (образующая поверхности)
скрещивается с осью вращения, то получается
однополостный гиперболоид вращения.
Образующими поверхности однополостного гиперболоида являются ребра многогранников,
лежащих на прямых, скрещивающихся с осью вращения.
Результаты эксперимента (Приложение № 3)
В процессе эксперимента были получены следующие результаты:
при вращении тетраэдра в зависимости от оси вращения, получается конус, два разных
конуса с общим основанием, однополостный гиперболоид;
при вращении куба: цилиндр, однополостный гиперболоид, система из двух конусов и
однополостного гиперболоида;
при вращении октаэдра: два конуса с общим основанием, однополостный
гиперболоид, система из двух цилиндров и двух однополостных гиперболоидов;
при вращении икосаэдра:
система из двух усеченных конусов и однополостного
гиперболоида, система из двух конусов и однополостного гиперболоида, система из двух
плоских кругов (сверху и снизу), трех гиперболоидов и системы цилиндров;
при вращении додекаэдра: совокупность системы однополостных гиперболоидов
вращения с однополостным гиперболоидом и системой конусов, система их двух
усеченных конусов и однополостного гиперболоида, система из четырех пар
однополостных гиперболоидов и одной пары цилиндров.
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
. Когда я выполняла ту или иную работу, все больше убеждалась, что самостоятельное
изготовление многогранников помогает изучить их свойства, обогащает мои знания. Для
этого:
изучила Платоновы тела и их свойства.
экспериментальным путем апробировала вращение правильных многогранников (тел
Платона), меняя у них оси вращения.
нашла и выделила у тел Платона такие оси вращения, которые позволяют этим телам
«превращаться» в одинаковые фигуры вращения.
8
определила группы фигур вращения, получаемых вращением тел Платона.
Вращая Платоновы тела, я обнаружила, что телами вращения являются
мне с детства
знакомые - цилиндр и конус. А также познакомилась с незнакомым мне однополостным
гиперболоидом.
При вращении Платоновых тел я обнаружила: вращая разные многогранники, можно получить
одинаковые фигуры вращения:
при вращении тетраэдра и октаэдра фигурой вращения являются однополостный
гиперболоид а также два конуса с общим основанием;
при вращении икосаэдра и додекаэдра – система из двух усеченных конусов и
однополостного гиперболоида;
при вращении икосаэдра и куба - система из двух конусов и однополостного
гиперболоида.
Можно предположить, что это связано со свойством правильных многогранников,
описанном в п. 2.2.
Благодаря работе, я приумножила свои знания. Проводить эксперименты было интересно не
только мне, но и моей семье. Все крутили, вертели телами, чтоб определить фигуру вращения.
Вначале мне было сложно, но со временем моя работа меня все больше и больше увлекала.
Хотелось бы в будущем продолжить работу в изучении свойств фигур вращения.
4. ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
1 Венниджер М. Модели многогранников.
2. Дорофеев Г.В., Математика. 6 класс. М.: «Баласс»
3. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11
4. ИНТЕРНЕТ
9
Приложение № 1. Развертки правильных многогранников (Платоновых тел)
Правильный тетраэдр.
Гексаэдр (куб)
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр
10
Фигуры вращения, получаемые вращением гексаэдра (куба).
Правильный
многогранник
Ось вращения
Прямая, проходящая через
центры противоположных
граней куба.
Полученная
фигура вращения
Цилиндр.
Прямая, проходящая через Фигура,
состоящая
середины противоположных однополостных
ребер куба.
гиперболоидов.
из
Прямая,
проходящая Фигура, состоящая из двух
через
противоположные конусов и однополостного
вершины куба.
гиперболоида.
11
12
Правильный
многогранник
Ось вращения
Прямая, проходящая через
вершину тетраэдра и центр
противоположной грани.
Полученная
фигура вращения
Конус.
Прямая, проходящая через Фигура, состоящая из двух
ребро тетраэдра.
конусов
с
общим
основанием.
Прямая, проходящая через Однополостный
середины
его гиперболоид.
противоположных ребер.
13
Фигуры вращения, получаемые вращением додекаэдра.
Правильный
многогранник
Ось вращения
Полученная
фигура вращения
Прямая,
проходящая Фигура, состоящая из двух
через
противоположные однополостных
вершины додекаэдра.
гиперболоидов вращения с
однополостным
гиперболоидом
и
двух
конусов.
Прямая,
проходящая
через
центры
противоположных
граней
додекаэдра.
Фигура, состоящая из двух
усеченных
конусов
и
однополостного
гиперболоида.
Прямая,
проходящая
через
середины
противоположных
ребер
додекаэдра.
Фигура, состоящая
из
четырех
однополостных
гиперболоидов и
пары цилиндров.
пар
одной
14
