КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.ТУПОЛЕВА (КНИТУ-КАИ)
Л.Н. Милехин
Основы теории управления
КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ 161100.62
«СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ И НАВИГАЦИЯ»
КАЗАНЬ – 2013
Содержание
Основы теории управления ........................................................................ 1
КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ НАПРАВЛЕНИЯ 161100.62
«СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ И НАВИГАЦИЯ» ..................... 1
Тема 1. Общие сведения о системах автоматического управления............ 8
1.1. Основные понятия и определения .......................................................... 8
ОУ ..................................................................................................................... 8
УУ ..................................................................................................................... 8
1.2. Классификация САУ по принципу действия ........................................ 9
1.2.1. Незамкнутые САУ ........................................................................... 10
..................................................................................................................... 11
У .................................................................................................................. 11
ТГ ................................................................................................................ 11
ИП ............................................................................................................... 11
Мс ............................................................................................................................. 11
УУ ........................................................................................................................... 11
Д .................................................................................................................. 11
П .................................................................................................................. 11
1.2.2. Замкнутые САУ ............................................................................... 11
Рис. 1.6. Функциональная схема замкнутой САУ ..................................... 12
Рис. 1.8. Функциональная схема замкнутой системы регулирования
скорости вращения электродвигателя. ........................................................ 14
1.3. Классификация САУ по характеру изменения задающего
воздействия .................................................................................................... 15
1.4. Классификация систем автоматического регулирования по величине
установившейся ошибки............................................................................... 15
2
1.5. Классификация САУ по их математическому описанию .................. 16
1.6. Классификация задач теории автоматического управления ............. 19
2.1. Линеаризация уравнений ....................................................................... 20
2.2. Передаточные функции ......................................................................... 22
2.2.1. Символическая запись дифференциальных уравнений и
передаточных функций ............................................................................. 22
2.2.2. Определение передаточных функций через изображения
Лапласа ....................................................................................................... 24
Уравнение (2.25) можно записать как и уравнение (2.11) в виде .................... 26
A0 s s B0 s U s C0 s F s , ........................................................................ 26
Тема 3. Временные и частотные характеристики динамических
звеньев САУ ................................................................................................. 27
3.1. Общие понятия ................................................................................... 27
3.2. Временные характеристики .............................................................. 27
3.3. Частотная передаточная функция и частотные характеристики... 29
3.4. Логарифмические частотные характеристики ................................ 33
Тема 4. Типовые динамические звенья и их характеристики ....... 34
4.1. Типовые динамические звенья первого порядка ............................ 34
4.1.1. Усилительное звено .................................................................... 34
4.1.2. Идеальное дифференцирующее звено ...................................... 35
4.1.3. Дифференцирующее звено первого порядка ........................... 37
4.1.4. Интегрирующее звено ................................................................ 39
4.1.5. Апериодическое (инерционное) звено ...................................... 41
4.2. Типовые динамические звенья второго порядка ........................ 47
4.2.1. Колебательное звено ................................................................... 48
Колебательное звено имеет передаточную функцию ....................... 48
4.2.2. Дифференцирующее звено второго порядка............................ 53
4.3. Запаздывающее звено .................................................................... 55
Уравнение запаздывающего звена x2 (t ) x1 (t ), (4.74) ........... 55
5.1. Общие понятия о структурной схеме ............................................... 57
5.2. Преобразование структурных схем .................................................. 57
Рис. 5.2 ............................................................................................................ 58
5.3. Обобщенная структурная схема и передаточные функции САУ . 60
5.4. Приближенный способ построения логарифмических частотных
характеристик одноконтурных систем ....................................................... 63
Тип звена ................................................................................................................ 65
6.2. Управляемость и наблюдаемость ..................................................... 72
Тема 7. Устойчивость линейных непрерывных САУ ......................... 75
7.1. Основные понятия об устойчивости ................................................ 75
7.2. Общая характеристика критериев устойчивости ............................ 80
7.3. Критерий устойчивости Гурвица ..................................................... 80
7.4. Принцип аргумента ............................................................................ 82
3
7.5. Критерий устойчивости Найквиста .................................................. 86
Сделаем подстановку s j в выражение для W1 s : ............................. 90
7.6. Пример определения устойчивости системы по критерию
Найквиста ................................................................................................... 93
Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы .. 93
7.7. Определение устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам ........................................................................................ 94
7.8. Запас устойчивости ............................................................................ 95
4
5
6
Тема 8. Оценка качества управления и синтез непрерывных САУ. 97
8.2. Теорема о конечном значении .......................................................... 99
8.3. Точность в типовых режимах ......................................................... 100
Задающее воздействие принимается изменяющимся по закону .................... 103
8.4. Определение запаса устойчивости и быстродействия по
переходной характеристике ................................................................... 105
8.5. Оценка качества переходного процесса по логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутой системы ............................ 106
8.6. Синтез систем автоматического управления .................................... 111
8.6.1. Общие понятия .............................................................................. 111
8.6.2. Этапы синтеза методом ЛАХ ....................................................... 112
Рассмотрим упрощённую методику синтеза САУ методом ЛАХ на
примере следящей системы, структурная схема которой приведена на
рис.7.6. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: ................ 115
K
W ( p)
,
(8.16).............................................................. 115
p(T y p 1) (Tм p 1)
где К – коэффициент усиления разомкнутой системы (добротность САУ по
скорости). ............................................................................................................. 115
Список литературы........................................................................................... 128
7
Тема 1. Общие сведения о системах автоматического управления
1.1. Основные понятия и определения
Система управления (СУ) – совокупность управляющего устройства
(УУ) и объекта управления (ОУ), действия которой направлены на
достижение некоторого результата – цели управления (рис.1.1.).
УУ
ОУ
СУ
Рис 1.1.
Объект управления (ОУ) – устройство, в котором происходит
подлежащий управлению процесс.
Управляющее устройство (УУ) – устройство, предназначенное для
выполнения задачи управления. УУ реализует следующие функции:
а) сбор информации;
б) переработку информации;
в) передачу информации;
г) выработку команд управления.
На
функциональных
и
структурных
схемах
элементы
СУ
изображают в виде звеньев, соединенных линиями связи. Стрелки на
линиях связи показывают направление передачи информации. Будем
считать, что в обратном направлении информация не передается.
На
рис.
1.2.
показано
возможное
изображение
ОУ
на
функциональной схеме.
f(t)
u(t)
ОУ
g(t)
y(t)
УУ
u(t)
Рис. 1.3.
Рис. 1.2.
Обозначения на рис. 1.2.: y(t) – управляемая величина – физическая
8
величина,
принадлежащая ОУ и подвергающаяся управлению, т.е.
величину y(t) необходимо поддерживать постоянной или изменять по
некоторой программе.
u(t) – управляющее воздействие – физическая величина, внешняя по
отношению к ОУ, которая формируется в УУ и осуществляет выполнение
задачи управления.
f(t) – возмущающее воздействие – физическая величина, внешняя по
отношению к ОУ, вызывающая нежелательное изменение управляемой
величины.
На
рис.
1.3.
показано
возможное
изображение
УУ
на
функциональной схеме.
Обозначения на рис. 1.3:
u(t) – команда управления – управляющее воздействие для ОУ
g(t) – задающее воздействие – физическая величина, определяющая
программу работы СУ.
Система управления, выполняющая поставленную перед ней задачу
без непосредственного участия человека (оператора), называется системой
автоматического управления (САУ).
Общими принципами и методами построения САУ занимается
наука, которая называется теория автоматического управления (ТАУ).
1.2. Классификация САУ по принципу действия
Предметом изучения ТАУ являются автоматические системы,
которые в течение длительного времени нужным образом изменяют (или
поддерживают
неизменным)
какие-либо
физические
величины
(координаты движущегося объекта, скорость движения, электрическое
напряжение, температуру, давление и пр.) в том или ином управляемом
процессе. Сюда относятся автоматические регуляторы, следящие системы,
автопилоты, системы самонаведения и т.п. Эти автоматические системы в
9
свою очередь по принципу действия делятся на незамкнутые (или
разомкнутые) и замкнутые автоматические системы.
1.2.1. Незамкнутые САУ
Характерным для незамкнутой системы является то, что процесс
работы системы не зависит непосредственно от результата ее воздействия
на управляемый объект, т.е. в ней отсутствует обратная связь.
Пример незамкнутой САУ приведен на рис. 1.4.
3
UП1
UП2
4
>
U2 UВ
5
2
U1
M
7
Br
UТГ
Мс
8
g
1
6
0
Рис. 1.4. Схема разомкнутой системы регулирования скорости
вращения электродвигателя постоянного тока
Обозначения на рис. 1.4: 1 – ручка задатчика оборотов двигателя; 2, 3 –
потенциометр (2 – движок, 3 основание потенциометра); 4 – усилитель; 5 –
якорь электродвигателя постоянного тока; 6 – обмотка возбуждения; 7 –
тахогенератор; 8 – измерительный прибор; U П1 – напряжение источника
питания потенциометра; U П 2 – напряжение источника питания усилителя;
U1 – напряжение на входе усилителя; U 2 – напряжение на выходе
усилителя; U В
- напряжение питания обмотки возбуждения; UТГ -
напряжение, вырабатываемое тахогенератором; g – угол поворота ручки 1
(задающее воздействие); - угловая скорость двигателя; Мс - момент
сопротивления.
Описание работы разомкнутой системы.
10
Управляющее воздействие g перемещает движок 2 относительно
основания потенциометра 3 и изменяет напряжение U1 на входе усилителя
4. Это приводит к изменению напряжения U 2 на выходе усилителя и тока
в
якоре
электродвигателя
5,
что
вызывает
изменение
момента,
развиваемого двигателем, и, следовательно, изменение его угловой
скорости. Последняя измеряется при помощи тахогенератора 7 и
измерительного прибора 8.
Незамкнутые системы не могут обеспечить высокую точность,
потому что сохранение первоначальной настройки при износе и старении
элементов, а также при колебаниях температуры и прочих возмущениях
представляет трудную задачу.
Принципиальной
схеме
разомкнутой
системы
(рис. 1.4.)
ТГ UТГ
ИП
соответствует функциональная схема на рис. 1.5.
Мс
g
П
U1
U2
У
Д
УУ
Рис. 1.5. Функциональная схема разомкнутой системы
регулирования скорости вращения электродвигателя.
П – потенциометрический датчик, У – усилитель, Д –
двигатель, ТГ – тахогенератор, ИП – измерительный прибор,
УУ – управляющее устройство.
1.2.2. Замкнутые САУ
Характерным для замкнутой САУ является наличие обратной связи,
замыкающей выход системы с ее входом. Направление передачи
информации в цепи обратной связи происходит с выхода системы на ее
11
вход, где происходит сравнение текущего значения управляемой величины
с задающим воздействием.
Рассмотрим типовую функциональную схему САУ с одной
управляемой величиной y(t) (рис. 1.6).
f(t)
g(t)
1
h(t)
x(t)
2
q(t)
3
z(t)
4
u(t)
y(t)
5
6
Рис. 1.6. Функциональная схема замкнутой САУ
Задающее
устройство
1
преобразует
входное
воздействие
g(t) в
управляющий сигнал h(t). Измерительное устройство 6, стоящее в цепи
обратной связи, измеряет фактическое значение управляемой величины и
преобразует его в сигнал z(t), имеющий одну физическую природу с
управляющим
сигналом
h(t).
Измеритель рассогласования
2
(или
сравнивающее устройство) производит вычитание x(t)=h(t)–z(t), и тем
самым выявляет рассогласование или ошибку системы. Обратную связь,
выполняющую операцию сравнения (вычитания) сигналов, называют
отрицательной. Далее в цепи формирования управляющего воздействия
u(t) стоят усилительно-преобразовательное устройство 3 и исполнительное
устройство 4.
Усилительно-преобразовательное устройство 3 предназначено для
усиления мощности сигналов. Оно управляет энергией, которая поступает
от постороннего источника энергии.
Исполнительное
воздействие
u(t),
устройство
непосредственно
4
вырабатывает
управляющее
прикладываемое
к
объекту
управления 5. Для повышения устойчивости и улучшения динамических
12
свойств
САУ
в
функциональную
схему
могут
быть
включены
корректирующие устройства, не указанные на рис. 1.6. Функции
корректирующих устройств могут выполнять цифровые и аналоговые
вычислительные машины.
В качестве примера замкнутой САУ рассмотрим схему системы
автоматического
регулирования
угловой
скорости
вращения
электродвигателя, построенную на базе схемы, приведенной на рис. 1.4
(рис. 1.7)
UП2
4
>
U2 UВ
6
5
3
7
UПД
UП1
U1
M
UТГ
Br
Мс
2
g
0
1
Рис. 1.7. Схема замкнутой системы регулирования скорости
вращения электродвигателя постоянного тока
Обозначения на рис. 1.7. соответствуют обозначениям на рис. 1.4. Отличие
замкнутой системы от незамкнутой в том, что выходное напряжение
тахогенератора 7 сравнивается с напряжением Uпд, которое снимается с
потенциометрического
датчика
путем
формирования
разности
U1 U ПД UТГ . В установившемся режиме работы при фиксированном
положении ручки 1 все переменные величины имеют заданные значения,
которые отметим значком : g=g;
U ПД = U ПД
;
; M c M c ;
U ТГ U ТГ
К ТГ ; U1 U1 U ПД U ТГ ; U 2 U 2 K y U1.
Пусть момент сопротивления на валу электродвигателя увеличился.
Это приведет к уменьшению скорости вращения на некоторую величину
13
, т.е. . Соответственно уменьшится напряжение на выходе
тахогенератора:
UТГ KТГ ( ) KТГ KТГ UТГ
UТГ .
На входе усилителя дополнительно к сигналу U1 возникнет сигнал
ошибки
U1 U1 U1 (U ПД
U ТГ ) U1 (U ПД
U ТГ
U ТГ ) U1
(U1 U ТГ ) U1 U ТГ KТГ
Этот сигнал будет усилен и вызовет увеличение напряжения на
выходе усилителя:
U 2 U 2 U 2 K yU 1 K y (U 1 U 1 ) K yU 1 K y K ТГ .
Приращение напряжения на выходе усилителя вызовет увеличение
тока в цепи якоря двигателя, и, следовательно, увеличение вращающего
момента двигателя, что приведет к росту угловой скорости
в
направлении к заданному значению.
Принцип управления, основанный на использовании обратной связи,
ценен тем, что не требует точной градуировки и сохраняет свою точность
и в тех случаях, когда параметры элементов системы со временем
изменяют свои значения.
Мс
g
П
UП
Д
U1
СУ
UТГ
У
U2
Д
ТГ
Рис. 1.8. Функциональная схема замкнутой системы
регулирования скорости вращения электродвигателя.
Функциональная схема, соответствующая схеме замкнутой системы на
14
рис. 1.7, приведена на рис. 1.8, где по сравнению со схемой на рис. 1.5
добавился
новый
элемент
–
сравнивающее
устройство
(СУ),
и
тахогенератор вошел в состав системы как чувствительный или
измерительный элемент в цепи обратной связи.
Следует заметить, что обратную связь системы по управляемой
величине называют главной обратной связью, а возможные обратные
связи,
охватывающие
отдельные
элементы,
называют
местными
обратными связями.
1.3. Классификация САУ по характеру изменения задающего воздействия
В зависимости от характера изменения задающего воздействия g(t)
САУ могут быть подразделены на следующие три класса:
1.
Системы
автоматической
стабилизации
(или
системы
автоматического регулирования (САР));
2. Системы программного управления;
3. Следящие системы.
В системах автоматической стабилизации управляющие воздействия
представляют собой заданные постоянные величины (уставки) g(t) = const.
В системах программного управления задающие воздействия есть
известные функции времени (изменяются по программе) : g(t) = gпр (t).
В следящих системах задающие воздействия представляют собой
заранее неизвестные функции времени.
1.4. Классификация систем автоматического регулирования по величине
установившейся ошибки
Данный вид классификации разделяет САР на статические и
астатические в зависимости от того, имеют они в установившемся режиме
после изменения величины внешнего воздействия ошибку регулирования
(статические САР), или не имеют (астатические САР).
15
Характерные особенности статической САР:
- равновесие САР может быть при различных значениях регулируемой
величины;
- каждому
значению
регулируемой
величины
соответствует
единственное положение регулирующего органа.
Характерные особенности астатической САР:
- равновесие
САР
имеет
место
при
единственном
значении
регулируемой величины, равном заданному;
- регулирующий
орган
должен
иметь
возможность
занимать
различные положения при одном и том же значении регулируемой
величины.
Следует различать системы статические и астатические по отношению к
возмущающему и управляющему внешним воздействиям.
В
системах,
статических
по
отношению
к
управляющим
воздействиям, постоянным значениям этого воздействия соответствует
постоянная ошибка системы, величина которой зависит
от величины
управляющего воздействия: (t ) g (t ) y(t ) 0.
В астатических схемах по отношению к управляющему воздействию
после окончания переходного процесса y(t ) g (t ), ошибка равна нулю.
1.5. Классификация САУ по их математическому описанию
Вид
математической
модели
САУ
зависит
от
характера
динамических процессов, протекающих в системе. Основные признаки
деления автоматических систем на классы по характеру внутренних
динамических процессов:
1) непрерывность или дискретность динамических процессов во
времени;
16
2) линейность или нелинейность уравнений, описывающих динамику
процессов управления.
По первому признаку САУ делятся на системы непрерывного действия и
системы дискретного (прерывистого) действия. Системы дискретного
действия подразделяют на импульсные, релейные и цифровые.
По второму признаку САУ делятся на системы линейные и нелинейные
(кроме релейных систем). Системы релейного действия относятся целиком
к категории нелинейных систем.
Если в процессе работы структура всех связей в системе остается
неизменной, то такая система является системой непрерывного действия.
Сигналы на выходе элементов такой системы являются непрерывными
функциями воздействия и времени. Пример системы непрерывного
действия показан на рисунке 1.7.
Системы дискретного действия отличаются тем, что в них через
дискретные промежутки времени происходит размыкание или замыкание
каких-либо связей между элементами системы.
В импульсных системах размыкание и замыкание цепи воздействий
производится принудительно и периодически специальным прерывающим
устройством. В течение передачи импульсов процессы в этих системах
протекают так же, как и в непрерывных САУ. Импульсные системы
содержат импульсные элементы и осуществляют квантование сигнала по
времени
В системах релейного действия размыкание или замыкание цепи
производится одним из элементов системы при непрерывном значении
входного воздействия. Размыкание или замыкание осуществляется с
помощью реле или элемента, имеющего релейную характеристику.
Релейные системы осуществляют квантование сигнала по уровню.
Цифровыми или релейно-импульсными автоматическими системами
называют системы, содержащие в контуре управления
17
цифровые
вычислительные машины. В этих системах происходит квантование
сигнала как по времени, так и по уровню.
Обратимся
теперь
ко
второму
признаку
классификации
автоматических систем.
Систему называют линейной, если модели всех её звеньев
описываются
линейными
уравнениями
(алгебраическими
и
дифференциальными или разностными). Если динамика всех звеньев
системы описывается обыкновенными линейными дифференциальными (и
линейными
алгебраическими)
уравнениями
с
постоянными
коэффициентами, то систему называют стационарной линейной системой.
Если в уравнении динамики какого-либо звена линейной системы имеется
хотя бы один переменный во времени коэффициент, то получим линейную
нестационарную систему. Если в системе дифференциальных уравнений,
описывающих систему, есть дифференциальные уравнения в частных
производных, то мы имеем модель системы с распределенными
параметрами. Модель системы с сосредоточенными параметрами
содержит
дифференциальных
Динамика
линейных
уравнений
импульсных
систем
в
не
частных
производных.
описывается
линейными
разностными уравнениями.
Нелинейной системой называется такая система, в которой хотя бы
в одном звене нарушается линейность статической характеристики или
же имеет место любое другое нарушение линейности уравнений динамики
звена.
Нелинейные системы так же как и линейные, могут быть
стационарными и нестационарными, с сосредоточенными параметрами и с
распределенными параметрами.
Кроме того, системы (или их математические модели) каждого из
классов и подклассов могут быть подразделены на детерминированные и
стохастические.
18
Математическую модель системы называют детерминированной,
если приложенные к ней воздействия и параметры модели являются
постоянными или детерминированными, т.е. определенными, функциями
переменных состояния и времени. Математическую модель системы
называют стохастической, если приложенные к ней воздействия и
параметры модели являются случайными функциями или случайными
величинами.
1.6. Классификация задач теории автоматического управления
В общем случае работу системы автоматического управления
определяют три основных компоненты (рис. 1.9):
1) входное воздействие g(t), задающее программу работы САУ;
2) управляемая величина y(t), которая должна удовлетворять
предъявляемым к ней требованиям;
3) оператор системы W, являющийся математической моделью САУ.
g (t)
W
y (t)
Рис. 1.9
В соответствии с этим задачи расчета систем управления делятся на три
группы:
1. Задачи анализа: по заданному входному воздействию и оператору
системы исследовать закон изменения управляемой величины.
2. Задачи синтеза: по желаемому закону изменения управляемой
величины найти входное воздействие.
3. Задачи идентификации: по входному и выходному сигналам
определить оператор системы.
19
Тема 2. Математическая модель непрерывной линейной САУ
2.1. Линеаризация уравнений
Пусть динамическое уравнение некоторой САУ (или ее отдельного
звена) имеет произвольный нелинейный вид
F y 3 , y, y , y, u, u, u f , f ,
(2.1)
где y – выходная величина; u – входная величина; f – внешнее
возмущение; y (3)
d3y
.
dt 3
Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при
некоторых постоянных значениях переменных u = u*, f = f*, y = y*. Тогда
уравнение установившегося состояния согласно (2.1) будет
F y 3 0, y 0, y 0, y* , u 0, u 0, u* f 0, f *
(2.2)
В возмущенном движении переменные, являющиеся аргументами
функций F и уравнения (2.1), будут отличаться от своих установившихся
значений:
y t y* y t , y t y t , yt yt , y 3 t y 3 t ,
f t f * f t , f t f t ,
(2.3)
u t u * u t , u t u t , ut ut .
В
основе
линеаризации
нелинейных
уравнений
лежит
предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе
переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся
значений, т.е. величины yt , y t , yt , y 3 t , f t , ..., ut , остаются
все время достаточно малыми. Это допущение является справедливым в
силу принципа работы замкнутой САУ.
Разложим функции F и в уравнении (2.1) в ряд Тейлора по
степеням
указанных
выше
малых
отклонений,
рассматривая
все
производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда уравнение
(2.1) примет вид:
20
*
*
F
F
F y 3 0, y 0, y 0, y* , u 0, u 0, u * y y
y
y
*
*
*
*
*
F
F
F
F
3 F
y 3 y u u u R1
u
u
u
y
y
*
(2.4)
*
f 0, f * f f R2 ,
f
f
F
F
где , например, означает частную производную
, вычисленную
y
y
при значениях переменных, соответствующих установившемуся режиму;
R1 – остаток ряда Тейлора для функции F, содержащий члены выше 1-го
порядка малости; R2 – остаток ряда Тейлора для функции , содержащий
члены выше 1-го порядка малости.
Вычтя из уравнения (2.4) уравнение установившегося состояния (2.2)
и отбросив члены высшего порядка малости R1 и R2 , получим искомое
линеаризованное уравнение динамики исследуемой системы в виде
*
*
*
*
F
F
F
F
3
y 3 y y y y y y y
*
(2.5)
*
F
F
F
u u u f f .
u
u
u
f
f
*
*
*
Уравнение (2.5) называется дифференциальным уравнением системы
(или ее отдельного звена) в отклонениях. Это уравнение записывают так,
чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части
уравнения, а входная величина и все остальные члены – в правой части.
Для коэффициентов уравнения (2.5) применим более простые обозначения
F
ak ( n k ) , k 0, n;
y
F
bk ( m k ) , k 0, m;
u
ck ( r k ) , k 0, r;
f
21
(2.6)
где n, m, r – порядки старших производных выходной величины y,
входной величины u и возмущения f соответственно. С учетом
обозначений (2.6) уравнение (2.5) примет вид:
d 2 y
d 3y
d 2 u
dy
du
d f
a0
+ a1 2 + a2
+ a3y = b0 2 + b1 2 + b2u + c0
+ c1f .
3
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(2.7)
Часто для упрощения записи знак вариации в уравнении (2.7)
опускают, не забывая при этом, что все переменные есть отклонения
исходных величин от их установившихся значений. В общем случае
уравнение (2.7) может быть записано в виде:
a0
dny
d mu
dr f
d n 1 y
d m 1u
dy
du
b
c
a
b
+
+…+
+
=
+
+…+
+
+
+
a
b
a
y
b
u
0
0
1
1
n 1
m 1
n
m
dt m
dt r
dt n 1
dt m 1
dt n
dt
dt
+ c1
d r 1 f
df
+…+ cr 1 + cr f .
r 1
dt
dt
(2.8)
Для реальных систем обычно выполняется соотношение n>m, n>r.
2.2. Передаточные функции
2.2.1. Символическая запись дифференциальных уравнений и
передаточных функций
Уравнение (2.8) удобнее записывать в символической форме, вводя
алгебраизированный оператор дифференцирования p=d/dt. Тогда любая
производная уравнения (2.8) может быть выражена символьной формулой
dk y
dk
k
d
k y y pk y
k
dt
dt
dt
(2.9)
а уравнение (2.8) примет вид:
a0 p n y a1 p n 1 y ... an 1 py an y b0 p mu b1 p m 1u ...
(2.10)
bm 1 py bm y c0 p r f c1 p r 1 f ... cr 1 pf cr f .
Считая условно оператор дифференцирования p=d/dt алгебраической
величиной, преобразуем уравнение (2.10) к виду:
A0 p y B0 p u C0 p f ,
22
(2.11)
где
A0 p a0 p n a1 p n 1 ... an 1 p an ;
B0 p b0 p m b1 p m1 ... bm1 p bm ;
C0 p c0 p r c1 p r 1 ... cr 1 p cr .
Полином A0(p) представляет собой характеристический полином
исследуемой системы (или её отдельного звена). Он характеризует
свободное движение системы, т.е. её движение при u=0 и f=0 под влиянием
ненулевых
начальных
значений
например,
исчезнувшим
к
y0, y 0, y0,..., y n1 0
моменту
времени
t=0
вызванных,
возмущающим
воздействием f(t). В зависимости от знаков вещественных частей корней
уравнения A0(p) система может быть устойчивой или неустойчивой.
Полином B0(p) определяет влияние управляющего воздействия u(t)
на характер изменения управляемой величины y(t).
Полином C0(p) определяет влияние возмущающего воздействия f(t)
на характер изменения управляемой величины.
Решим уравнение (2.11) относительно выходной величины:
y W1 p u W2 p f .
(2.12)
Выражения
B0 p bo p m ... bm
W1 ( p )
,
A0 p ao p n ... an
W2 ( p )
называются
в
(2.13)
C0 p co p r ... cm
A0 p ao p n ... an
теории
автоматического
(2.14)
управления
передаточными
функциями.
Выражения (2.10), (2.11), (2.12) представляют собой символическую
запись
дифференциального
уравнения
(2.8).
Переменные
в
этих
уравнениях остаются функциями времени. Чтобы подчеркнуть это,
выражение (2.12) можно записать так:
23
y(t ) W1 ( p) u (t ) W2 ( p) f (t ).
(2.15)
Передаточные функции (2.13), (2.14) вводятся для сокращения
символической записи дифференциальных уравнений. Более строго
передаточная функция определяется через изображения Лапласа.
2.2.2. Определение передаточных функций через изображения Лапласа
Преобразованием Лапласа или изображением переменной x(t), такой,
что
x(t ) 0 t 0
и
| x (t ) | e
t
dt ,
0,
называется
0
комплекснозначная функция X (s ) , определяемая интегралом
X s x (t )e st dt ,
(2.16)
0
где
s j - комплексная переменная, вещественная часть
которой σ представляет собой так называемую абсциссу абсолютной
сходимости. Для большинства функций, с которыми приходится иметь
дело в управлении, абсцисса абсолютной сходимости равна нулю.
Функцию времени x(t) по которой найдено изображение X (s),
называют оригиналом.
Отыскание изображения функции x(t) с помощью интеграла (2.16)
называют прямым преобразованием Лапласа и условно обозначают его
выражением
X ( s ) L x(t )
(2.17)
Умножим уравнение (2.8) на функцию e
st
и проинтегрируем его по
времени от нуля до бесконечности.
Преобразование Лапласа обладает свойством линейности:
L A f (t ) A F ( s ),
L f1 (t ) f 2 (t ) F1( s ) F2 ( s ),
(2.18)
поэтому в левой и правой частях уравнения (2.8) будут суммы интегралов:
24
m
d n y (t ) st
dy(t ) st
d u (t ) st
st
a0
e dt ... an 1
e dt an y (t ) e dt b0
e dt ...
n
m
dt
dt
dt
0
0
0
0
d r f (t ) st
e dt ... cr f (t ) e st dt .
r
dt
0
0
bm u (t ) e st dt c0
0
(2.19)
Согласно формуле (2.16) обозначим:
st
st
st
y (t ) e dt Y ( s), u (t ) e dt U ( s ), f (t ) e dt F ( s).
0
0
(2.20)
0
Найдем изображение первой производной.
dy(t ) st
dy(t )
L
e dt e st dy(t ) .
dt 0 dt
0
(2.21)
Применим к (2.21) правило интегрирования по частям. Обозначим:
e st u, dy(t ) d.
e
0
st
Тогда
du se st dt , y (t ),
st
dy (t ) u du y (t )e 0 sy (t )e st dt
0
y () 0 y (0) 1 s Y ( s) sY ( s ) y (0).
(2.22)
Применяя такой же метод для нахождения изображения второй
производной, получим формулу:
d 2 y (t ) dy t st
st
st
st
L
e
dt
e
d
y
t
y
(
t
)
e
s
y
(
t
)
e
dt
0
2
dt
dt
0
0
0
y ()0 y (0)1 ssY ( s) y (0) s 2Y ( s) sy(0) y (0).
(2.23)
Для изображения k - ой производной на основании формул (2.22) и
(2.23) нетрудно найти выражение
k 1
d k y t
k
L
s k 1 j y j 0.
s Y s
k
dt
j 0
(2.24)
Полагая все начальные условия нулевыми, запишем уравнение (2.19)
в виде:
25
a0 s n a1s n1 ... an1s an Y s
(2.25)
b0 s m b1s m1 ... bm1s bm U s c0 s r c1s r 1 ... cr 1s cr F s
Уравнение (2.25) можно записать как и уравнение (2.11) в виде
A0 s s B0 s U s C0 s F s ,
где полиномы A0 s , B0 s , C0 s имеют такой же смысл, как и полиномы
A0 p , B0 p , C 0 p .
Решим уравнение (2.25) относительно изображения выходной
величины:
Y s W1s U s W2 s F s ,
где
W1 ( s )
(2.26)
b0 s m ... bm
(2.27)
a0 s ... an
n
- передаточная функция САУ по отношению к входной величине u(t);
W2 ( s )
c0 s r ... c r
(2.28)
a0 s ... an
n
- передаточная функция САУ по отношению к возмущающему
воздействию f(t).
Если
возмущающее
воздействие
f(t)=0,
то
Y(s)=W1(s)U(s)
W1(s)=Y(s)/U(s)
и
(2.29)
Если равна нулю входная величина u(t)=0, то Y(s)=W2(s)F(s) и
W2(s)=Y(s)/F(s)
Согласно
линейной
(2.30)
выражениям
стационарной
(2.29),
(2.30)
динамической
передаточной
системы
по
функцией
отношению
к
некоторому входному воздействию называют отношение изображения Y(s)
величины y(t) на выходе системы к изображению входного воздействия,
которые получены прямым преобразованием Лапласа при нулевых
начальных условиях.
26
Тема 3. Временные и частотные характеристики динамических
звеньев САУ
3.1. Общие понятия
При анализе динамических свойств САУ последние обычно
разбиваются
на динамические звенья. Под динамическим звеном
понимают устройство любой физической природы и конструктивного
оформления,
но
описываемое
определенным
дифференциальным
уравнением.
Обозначим входную величину звена через x1, а выходную через x2
(рис. 3.1).
x1(t)
W(р)
x2(t)
Символическая запись дифференциального уравнения звена:
x 2 (t ) W ( p ) x1 (t ) .
Рис. 3.1
Среди
(3.1)
динамических
звеньев
различают так называемые типовые звенья, которые имеют простейшие
передаточные функции. К типовым относят динамические звенья,
описываемые
(динамические
дифференциальными
звенья
первого
уравнениями
порядка),
первого
порядка
дифференциальными
уравнениями второго порядка (динамические звенья второго порядка) и
запаздывающее звено.
3.2. Временные характеристики
Динамические свойства звена могут быть определены по его
переходной функции и функции веса.
Переходная функция, или переходная характеристика, h(t) описывает
переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его
вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице.
Такое входное воздействие называется ступенчатой единичной функцией и
27
обозначается x1 (t ) 1(t ), что соответствует х1=0 при t<0 и х1=1 при t 0 .
Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая
величина на входе звена.
Если
входное
воздействие
представляет
собой
неединичную
ступенчатую функцию x1 N 1(t ), выходная величина будет равна
x2 N h(t ).
Умножение какой-либо функции времени x(t) на единичную
ступенчатую функцию 1(t) означает, что функция времени x(t) будет
существовать только при t 0, при t<0 она обращается в нуль.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную
импульсную функцию, поданную на его вход. Единичная импульсная
функция или дельта–функция представляет собой производную от
единичной ступенчатой функции:
(t )
d1(t )
1' (t ).
dt
(3.2)
Дельта-функция равна нулю повсюду, кроме точки t=0, где она
стремится к бесконечности.
Основное свойство дельта - функции заключается в том, что
(3.3)
(t )dt 1,
т.е. она имеет единичную площадь.
Установим связь между переходной функцией h(t) и функцией веса
w(t). Рассмотрим входное воздействие в виде конечного по высоте N и
ширине импульса с площадью N=1, прикладываемого при t=0. Такой
импульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями x11=N1(t) и
x12= -N1(t-), прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени .
Тогда выходная величина будет равна
x2 (t ) N h (t ) h (t ).
(3.4)
28
Будем теперь увеличивать высоту импульса N, одновременно
уменьшая его ширину , но так, чтобы все время N=1. Подставим N=1/ в
(3.4)
x 2 (t )
h(t ) h(t )
(3.5)
.
Переходя к пределу при 0 , получим из (3.5) весовую функцию.
С другой стороны, предел правой части выражения (3.5) есть скорость
изменения переходной функции:
w(t ) lim
h(t ) h(t )
0
Таким
образом,
dh(t )
.
dt
(3.6)
функция
веса
может
быть
получена
дифференцированием по времени переходной функции.
В случае, если на вход звена поступает неединичная импульсная
функция x1=G(t), на выходе звена получим x2=Gw(t).
3.3. Частотная передаточная функция и частотные характеристики
Пусть
на
входе
динамического
звена
(рис.3.2)
имеется
гармоническое воздействие x1 X 1M cos t, где X 1M - амплитуда, а угловая (круговая) частота этого воздействия.
x1 (t )
k2 p k1
2 2
T2 p T1 p 1
На
x2 (t )
выходе
линейного
установившемся
звена
режиме
в
будет
также гармоническая функция той
же частоты, но в общем случае
Рис. 3.2
сдвинутая по фазе относительно
входной величины на угол :
x2 X 2 M cos(t ).
(3.7)
Воспользуемся формулой Эйлера
e jt cos t j sin t
29
и
представим
входную
и
выходную
величины
в
виде
суммы
экспоненциальных функций:
1
X 1M (e jt e jt ) x1' x1'' ,
2
1
j (t )
j (t )
'
''
x 2 X 2 M (e
e
) x 2 x 2 .
2
x1
(3.8)
Дифференциальное уравнение звена запишем в виде
2
x2
dt
2
d
T22
Выражения
T1
dx 2
dx
x 2 k1 x1 k 2 1 .
dt
dt
(3.8)
есть
частное
решение
(3.9)
дифференциального
уравнения (3.9). В линейной системе на основании принципа суперпозиции
эффект, создаваемый каждым из экспоненциальных воздействий x1' и x1' ' ,
может быть определен отдельно. Рассмотрим действие составляющей x1' .
Тогда
x1 x1'
1
1
X 1M e jt , x2 x2' X 2 M e j (t )
2
2
(3.10)
Найдем производные функций (3.10):
dx1 1
j X 1M e jt ;
dt
2
d 2 x2
dt
2
dx2 1
j X 2 M e j (t ) ;
dt 2
1
( j ) 2 X 2 M e j (t ) .
2
(3.11)
Подставим значения входной и выходной величин и их производных
в дифференциальное уравнение (3.9):
T22 ( j ) 2 X 2 M e j (t ) T1 jX 2 M e j (t ) X 2 M e j (t )
= k1 X 1M e jt k 2 j X 1M e jt .
(3.12)
После сокращения на общий множитель e jt найдем:
X 2 M j
k1 k 2 j
e
W ( j ).
X 1M
1 T1 j T22 ( j ) 2
30
(3.13)
k2 j k1
T22 ( j ) 2 T1 j 1
W ( j )
Выражение
(3.14)
называется частотной передаточной функцией звена, которая представляет
собой комплексное число. Выражение (3.14) можно представить в виде
W ( j ) U ( ) jV ( ),
(3.15)
где U ( ), V ( ) - соответственно вещественная и мнимая частотные
характеристики звена:
U ( )
k1 (1 T22 2 ) k 2T1 2
(1 T22 2 ) 2 T12 2
, V ( )
k 2 (1 T22 2 ) k1T1
(1 T22 2 ) 2 T12 2
.
(3.16)
Комплексное число W ( j ) можно выразить через его модуль и
аргумент:
W ( j ) A( )e j ( ) ,
где
(3.17)
A( ) mod W ( j ) | W ( j ) | U 2 ( ) V 2 ( )
амплитудная
частотная характеристика звена;
V ( )
U ( )
( ) argW ( j ) arc tg
фазовая
-
частотная
характеристика звена.
Выражения (3.15) и (3.17) связаны между собой соотношениями
U ( ) A( ) cos ( );
V ( ) A( ) sin ( ).
(3.18)
Сравнивая выражения (3.13) и (3.17), можно записать:
A( )
Таким
представляет
( ).
X 2M
,
X 1M
образом,
частотная
собой
комплексное
передаточная
число,
модуль
(3.19)
функция
W ( j )
которого
равен
отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а
аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
31
Если рассмотреть действие составляющей x1' ' , то соотношение между
составляющими x1' ' и x2' ' получается таким же, как между x1' и x2' .
V
2
1
W(j2 )
(2 )
=
3
=0
U
4
Направление роста
частоты
Рис.3.3
Для наглядного представления частотных свойств звена строится на
комплексной плоскости его амплитудно-фазовая частотная характеристика
(АФЧХ). Она представляет собой геометрическое место концов векторов
(годограф),
соответствующих
частотной
передаточной
функции
W ( j ) U ( ) jV ( ) при изменении частоты от нуля до бесконечности
(рис.3.3).
По
оси
абсцисс
откладывается
вещественная
часть
U ( ) Re W ( j ) и по оси ординат – мнимая часть V ( ) Im W ( j ). Для
каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные
точки соединяются плавной кривой. Около нанесенных точек можно
написать соответствующие им частоты 1 , 2 , 3 и т.д.
Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ,
соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной
передаточной
функции.
Угол
между
вектором
и
положительным
направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки,
равен аргументу или фазе частотной передаточной функции.
32
Вместо АФЧХ можно построить отдельно амплитудно-частотную
характеристику (АЧХ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ).
АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты.
Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и
входной величин. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на
различных частотах.
3.4. Логарифмические частотные характеристики
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) включают в себя
построенные
отдельно
на
одной
плоскости
логарифмическую
амплитудную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую
характеристику (ЛФХ). Для построения ЛАХ находится величина
L( ) 20 lg | W ( j ) | 20 lg A( ).
(3.20)
Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой
логарифмическую
единицу,
соответствующую
десятикратному
увеличению мощности. Один Бел соответствует увеличению мощности в
10 раз, 2 Бела – в 100 раз и т.д. Децибел равен одной десятой части Бела.
Если бы A( ) было отношением мощностей, то перед логарифмом в
правой части (3.20) должен был бы стоять множитель 10. A( ) есть
отношение амплитуд выходной и входной величин (перемещений,
скоростей, напряжений, токов и т.п.), а не мощностей. Мощность
пропорциональна квадрату этих величин, поэтому при увеличении A( ) в
10 раз мощность возрастает в 100 раз, что соответствует 2 Белам или 20
децибелам. Поэтому в правой части (3.20) стоит множитель 20.
Для построения ЛАХ и ЛФХ используется стандартная сетка. По оси
абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е.
наносятся отметки, соответствующие lg( ) , около отметок пишется
значение частоты в рад/с. По оси ординат откладывается модуль в
33
децибелах (дБ) в линейном масштабе. Ось абсцисс должна проходить через
что соответствует значению A( ) =1. Ось ординат может
точку 0 дБ,
пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Ось ординат
проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАХ.
Для построения ЛФХ используется та же ось абсцисс. По оси
ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе.
Тема 4. Типовые динамические звенья и их характеристики
4.1. Типовые динамические звенья первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее
динамику звена с одним входом и одним выходом (рис.3.1), в общем
случае имеет вид:
a0
dx2 (t )
dx (t )
a1 x 2 (t ) b0 1 b1 x1 (t ).
dt
dt
(4.1)
Символическая запись уравнения (4.1) с помощью оператора p=d/dt:
(a0 p a1 ) x 2 (t ) (b0 p b1 ) x1 (t ) .
(4.2)
Символическая передаточная функция звена
W ( p)
b0 p b1 .
a0 p a1
(4.3)
Полагая в (4.3) некоторые из коэффициентов a0 , a1 , b0 , b1 равными
нулю, можно получить передаточные функции типовых динамических
звеньев первого порядка.
4.1.1. Усилительное звено
Усилительное
или
безынерционное
звено
получим,
полагая
b0 a0 0 . Уравнение звена:
x2 (t ) kx1 (t ),
где
(4.4)
k=b1/a1 – коэффициент усиления (или масштабный коэффициент).
34
Передаточная функция усилительного звена W(p)=k. Это звено не
только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим
уравнением. Пример усилительного звена – потенциометрический датчик
(рис. 1.4).
Характеристики звена:
а) Переходная функция x2 (t ) h(t ) k 1(t ) представляет собой
ступенчатую функцию.
б) Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь
которой равна k, т.е. при x1 (t ) (t )
x2 (t ) w(t ) k (t ).
в) АФХ вырождается в точку, расположенную на вещественной оси
на расстоянии k от начала координат. АЧХ A()=k , ФЧХ ()=0 на всех
частотах.
г) ЛАХ представляет собой горизонтальную линию на уровне
L( ) 20 lg k дБ.
4.1.2. Идеальное дифференцирующее звено
При a0 b1 0 уравнение (4.2) становится уравнением идеального
дифференцирующего звена
x2 (t ) k p x1 (t ).
(4.5)
где k b0 / a1 - передаточный коэффициент.
Передаточная функция звена W(p)=kp. В изображениях Лапласа при
нулевых начальных условиях уравнение (4.5) примет вид
X 2 ( s ) k sX1 ( s ) .
Передаточная функция
(4.6)
W ( s ) ks.
(4.7)
Идеальным дифференцирующим звеном можно моделировать,
например, тахогенератор (ТГ), если в качестве входной величины ТГ
35
выбрать угол поворота его ротора , а в качестве выходной – напряжение
U ТГ , снимаемое с роторной обмотки (рис. 1.4).
Характеристики звена:
Для дифференцирующих звеньев из временных характеристик
рассмотрим лишь переходную функцию.
а)
Переходная
x2 (t ) h(t ) k p1(t ) k (t )
функция
есть
импульсная функция, площадь которой равна k.
б) Частотная передаточная функция
W ( j ) jk A( )e j ( ) ,
(4.8)
где A( ) k , ( ) arc tg k ,
0 2
0 .
В соответствии с (3.28) при изменении частоты от 0 до
(рис.4.1) конец вектора W ( j ) движется по положительной части мнимой
оси от 0 до . Идеальное дифференцирующее звено создает опережение
выходной величины по отношению к входной на 90 на всех частотах.
Амплитуда выходной величины возрастает с ростом частоты.
70
60
50
W(jk)
k
k-1
=0
40
k>k-1
v
30
20
()=/2
u
10
0,1
0
-1
Рис.4.1
20lgk
1
0
10
100
1
2
lg
Рис.4.2
в) ЛАХ звена строим по уравнению
L( ) 20 lg k 20 lg k 20 lg .
(4.9)
Выражение (4.9) есть уравнение прямой линии, которая имеет
положительный наклон к оси lg( ) с коэффициентом 20. Причем, если
36
частота возрастает в 10 раз, т.е. на декаду, функция L( ) возрастает на
20 дБ. В этом случае говорят, что прямая (4.9) имеет наклон +20 дБ на
декаду.
На
частоте
1 прямая (4.9)
проходит через
точку
L(1) 20 lg k дБ (рис.4.2).
4.1.3. Дифференцирующее звено первого порядка
Дифференцирующее звено 1–го порядка имеет передаточную
функцию вида
W ( s) k (s 1),
(4.10)
где k – передаточный коэффициент звена;
– постоянная времени.
Уравнение этого звена
x 2 (t ) k (
dx1 (t )
x1 (t ))
dt
(4.11)
получим из (4.2) при a0 0. При этом k b1 / a1 , b0 / b1 . Выходная
величина этого звена определяется не только текущим значением, но и
скоростью изменения входной величины.
Характеристики звена:
а) Переходная функция определяется выражением
x2 (t ) h(t ) k[ (t ) 1(t )].
(4.12)
При скачкообразном изменении входной величины x1 (t ) 1(t ) на
выходе звена получим импульс с бесконечно большой амплитудой,
соответствующий бесконечно большой скорости изменения входной
величины в момент скачка. После этого выходная величина принимает
постоянное установившееся значение x2 (t ) k1(t ) .
б) Частотные характеристики звена имеют вид:
W ( j ) k jk A( )e j ( ) ,
где A( ) k 1 2 2 , ( ) arc tg ( ).
37
(4.13)
АФХ звена изображена на рис. 4.3. АФХ – прямая, параллельная
мнимой оси. Она начинается на действительной оси в точке k при =0.
Дифференцирующее звено создает опережение выходной величины
по фазе. При сдвиг по фазе стремится к 90.
в) Уравнение ЛАХ:
L( ) 20 lg k 1 2 2 20 lg k 20 lg 1 2 2 .
Для частот
1/
(4.14)
в выражении (4.14) можно пренебречь
величиной 2 2 по сравнению с 1, а для частот 1 / наоборот,
v
k
k>k-1
k-1
() k
u
0
=0
W(jk)
Рис.4.3.
Рис.4.4.
можно пренебречь единицей по сравнению с величиной 2 2 . Тогда
приближенно можно записать
при 1 / ;
L1 ( ) 20 lg k
L( )
L2 ( ) 20 lg k 20 lg при 1 / .
(4.15)
Соотношения (4.15) показывают, что ЛАХ дифференцирующего
звена 1-го порядка приближенно может быть представлена двумя
прямолинейными отрезками (асимптотами). В граничной точке a 1 /
L1 ( a ) L2 ( a ) 20 lg k . Действительное значение ЛАХ в точке a 1 /
38
L( ) 20 lg k 20 lg 2 20 lg k 3,01 дБ
отличается
значения примерно на 3 дБ. Частота a 1 /
от
приближенного
называется частотой
сопряжения асимптотической ЛАХ. Линия L1 ( a ) параллельна оси частот,
а линия L2 ( a ) имеет положительный наклон +20 дБ/дек. На рис. 4.4
изображены ЛАХ и ЛФХ дифференцирующего звена 1-го порядка,
построенные в зависимости от безразмерной (нормированной) частоты
/ a . Нетрудно убедиться, что сопрягающей частотой будет
значение a 1, а ветвь L2 ( ) 20 lg k 20 lg также будет иметь
положительный наклон +20 дБ/дек. В логарифмическом масштабе частот
характеристика
( )
косо-симметрична
относительно
сопрягающей
частоты a , при которой она имеет ординату 45.
4.1.4. Интегрирующее звено
У интегрирующего звена скорость изменения выходной величины
пропорциональна входной величине:
dx2
k x1.
dt
(4.16)
Уравнение (4.16) получим из (4.1) при a1 b0 0 . При этом
передаточный коэффициент k b1 / a0 .
Умножим (4.16) на dt и проинтегрируем по времени от нуля до
текущего значения t.
x 2 (t )
t
x 2 ( 0)
o
dx2 k x1dt .
(4.17)
Решение уравнения (4.17):
t
(4.18)
x2 (t ) x2 (0) k x1dt .
o
39
Согласно (4.18) выходная величина пропорциональна интегралу от
входной величины, откуда и название звена.
Применив к уравнению (4.16) преобразование Лапласа при нулевых
начальных условиях, получим:
sX 2 ( s ) kX1 ( s ),
X 2 (s)
k
X 1 (s)
s
(4.19)
Из (4.19) следует, что интегрирующее звено имеет передаточную
k
W ( s) .
s
функцию
(4.20)
С помощью интегрирующего звена можно моделировать, например,
кинематическую связь между углом и угловой скоростью поворота
некоторого механического элемента:
d
1
; .
dt
p
Характеристики звена:
а)Переходная функция звена определяется выражением
t
x2 (t ) h(t ) k 1(t )dt kt 1(t ) .
(4.21)
0
График функции (4.21) есть прямая, проведённая из начала
координат под углом arctg (k ).
б) Весовая функция интегрирующего звена
t
x2 (t ) w(t ) k (t ) dt k 1(t )
(4.22)
0
есть ступенчатая функция.
в) Частотная передаточная функция
W ( j )
где
A( )
k
k j
k
j A( ) e j ( ) ,
j j j
, ( ) arc tg
k
k /
.
0
2
40
(4.23)
При изменении от 0 до
v
=
u
()=-/2
k>k-1
W(jk)
Рис.4.5
W(jk-1)
вектора
W ( j )
по
отрицательной
части
оси
от
(рис.4.5)
конец
движется
мнимой
Интегрирующее
до
звено
0.
создает
отставание выходной величины от
входной на 90 при всех частотах.
Амплитуда
выходной
величины
уменьшается с возрастанием частоты.
г) ЛАХ интегрирующего звена определяется формулой
L( ) 20 lg A( ) 20 lg k 20 lg .
(4.24)
Выражение (4.24) есть уравнение прямой с наклоном -20 дБ/дек,
проходящей при частоте 1 через точку L(1) 20 lg k . Пересечение
графиком функции (4.24) оси частот происходит при =k.
4.1.5. Апериодическое (инерционное) звено
Апериодическое звено имеет передаточную функцию
W (s)
k ,
Ts 1
(4.25)
где k – передаточный коэффициент, T – постоянная времени.
Уравнение апериодического звена получим из (4.1) при b0 0 :
T
где
dx 2
x 2 kx1 ,
dt
(4.26)
T a0 / a1 , k b1 / a1.
В качестве примера апериодического звена рассмотрим RC – цепочку
(рис. 4.6). Входная величина RC–цепочки – напряжение U1, выходная –
напряжение U2. По второму закону Кирхгофа
U1 U R U 2 ,
41
(4.27)
t
где U iR, U U 1 idt.
R
2
c
C0
Выразим ток через напряжение на конденсаторе:
iC
dU 2 .
dt
(4.28)
Если исключить промежуточные переменные i и UR, то уравнение (4.27)
примет вид
RC
dU 2
U 2 U1 ,
dt
(4.29)
который совпадает с (4.26) при k=1 и T=RC.
Запишем дифференциальное уравнение апериодического звена (4.26)
в виде
dx 2 1
k
x 2 x1.
dt T
T
(4.30)
Решим уравнение (4.30) методом
R
i
х1=U1
интегрирующего множителя, задав
C
х2=U2
Рис.3.9
начальное
условие
x 2 (0) x0
и
полагая, что входное воздействие
x1 (t )
произвольная
функция
времени. Умножим правую и левую
части уравнения (4.30) на вспомогательную функцию (t ) :
(t )
dx 2 (t ) 1
k
(t ) x 2 (t ) (t ) x1 (t ).
dt
T
T
(4.31)
Подберем функцию (t ) таким образом, чтобы в левой части
уравнения (4.31) получилась производная от произведения
d
dx
d
( x2 ) 2 x2
.
dt
dt
dt
Для этого должно выполняться условие
42
1
d (t )
(t )
.
T
dt
(4.32)
Решим уравнение (4.32) как дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:
t
t
d (t ) dt
d (t ' ) t dt '
(t ) t
;
; ln
(t ) (0)e T .
(t ) T
(0) T ;
0 (t ' )
0T
(4.33)
Подставив решение (4.33) в уравнение (4.31) и сократив последнее на
(0), получим:
t
t
t
t
d T
k T
k
T
(e x2 (t )) e x1 (t ); e x2 (t ) et ' / T x1 (t ' )dt 'C ;
dt
T
0T
t
k t / T t '/ T
e
e x1 (t ' )dt 'Ce t / T .
oT
x2 (t )
(4.34)
С учетом начального условия x 2 (0) x0 окончательно получим
решение в виде
x 2 (t ) x0 e
t / T
t
k (t t ') / T
e
x1 (t ' ) dt ' ,
T
0
(4.35)
где
t’ - переменная интегрирования.
Это
полное
решение
уравнения
(4.30)
при
произвольном
воздействии. В нем можно выделить две составляющие: первая, зависящая
от начального условия, является свободной составляющей; вторая носит
название вынужденной составляющей. Используем решение (4.35) для
получения переходной и весовой функций.
Характеристики звена:
а) Переходную функцию определяем при нулевом начальном
условии и входном воздействии x1 (t ) 1(t ) :
t
t
k
t 't
x2 (t ) h(t ) e (t 't ) / T 1(t ' ) dt ' k1(t ) e (t 't ) / T d (
)
T
T
0
0
43
k1(t )e
(t 't ) / T
t
| k (1 e T )1(t ).
t
(4.36)
0
б) Прежде, чем найти весовую функцию, остановимся на одном важном
свойстве функции, которое называют фильтрующим. Рассмотрим
интеграл от произведения функции на гладкую функцию t :
Y t t t 0 dt.
(4.37)
Функция t t0 0 t t0 . Примем, что импульс t t 0 появляется в
момент времени t 0 , а заканчивается в момент времени t0 , где
t 0 t 0 , - бесконечно малая величина. С учётом этого запишем
интеграл (4.37) как сумму трёх интегралов:
t 0
t0
t 0
t0
Y t t t 0 dt t t t 0 dt t t t 0 dt.
(4.38)
Первый и третий интегралы в выражении (4.38) равны нулю в силу
условия t t 0 0 t t 0 , а во втором интеграле t t 0 :
t0
t0
t 0
t 0
Y t0 t t0 dt t0 t t0 dt t0 1t t0 .
(4.39)
Таким образом, получим, что интеграл от произведения гладкой
функции t на функцию t t 0 равен значению функции t в
момент времени существования
функции. Множитель 1t t 0 в
выражении (4.39) отражает зависимость интеграла от времени.
Весовую функцию апериодического звена ищем при нулевом
начальном условии и входном воздействии x1 t t . При подстановке
входного воздействия в решение (4.35) запишем его в виде x1 t t 0 :
44
t
k t t T
x 2 t wt e
t 0 dt .
T
0
(4.40)
Применим к решению (4.40) фильтрующее свойство функции:
k T
k t t T
wt e
1
t
e 1t .
T
T
t 0
t
(4.41)
Сравнивая выражение (4.41) с общим решением дифференциального
уравнения апериодического звена (4.35), запишем последнее в виде:
x2 t x0 e
t
T
t
wt t x1 t dt .
(4.42)
0
Интеграл вида (4.42) называется интегралом свертки функций wt и
x1 t . Графики переходной и весовой функций апериодического звена
приведены на рис. 4.7.
1,2
1
1
h()
h, w
0,8
k=1
T=1
h(t)
0,6
0,4
h()
0,2
w(t)
0
T
0,5
0
1
3T
1,5
2
2,5
t, c
3
3,5
4
Рис.4.7. Переходная h(t) и весовая w(t) функции апериодического
звена (1 – касательная к экспоненте h(t) при t 0)
г) Частотные характеристики апериодического звена могут быть получены
из выражения для частотной передаточной функции
W j
где
k
k
kT
j
A e j ,
2 2
1 jT 1 T 2 2
1 T
A
k
1 T
2
2
;
arctg T .
45
(4.43)
АФХ апериодического звена при изменении частоты от 0 до
представляет
собой
полуокружность,
диаметр
которой
равен
передаточному коэффициенту k (рис. 4.8). При частотах выходная
величина отстаёт от входной на 900.
=
=0
()
W(j)
Рис.4.8. АФХ апериодического звена
д) Уравнение ЛАХ: L 20 lg A 20 lg k 20 lg 1 T 2 2 .
Сравнивая
выражение
(4.44)
с
(4.44)
уравнением
ЛАХ
дифференцирующего звена 1-ого порядка (4.15), можно сделать вывод, что
ЛАХ
апериодического
звена
есть
зеркальное
отображение
ЛАХ
дифференцирующего звена 1–ого порядка относительно горизонтальной
асимптоты
отображение
20 lg k .
ЛФХ
ЛФХ
апериодического
дифференцирующего
звена
есть
зеркальное
звена
1 – ого
порядка
относительного оси частот.
На рис. 4.9 приведены графики ЛАХ и ЛФХ апериодического звена
для случая k=10 в зависимости от нормированной частоты
где a 1 сопрягающая частота.
T
46
a T ,
L()
()
Рис.4.9. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена
4.2. Типовые динамические звенья второго порядка
В общем случае дифференциальное уравнение звена второго порядка
можно записать в виде:
d 2 x2
dx2
d 2 x1
dx
a0
a1
a2 x2 b0 2 b1 1 b2 x1.
2
dt
dt
dt
dt
(4.45)
Символическая запись уравнения (4.45):
(a0 p 2 a1 p a 2 ) x2 (t ) (b0 p 2 b1 p b2 ) x1 (t )
(4.46)
Данное уравнение имеет смысл анализировать лишь в случае, когда
полиномы, заключенные в скобки, не имеют вещественных корней и не
могут быть разложены на более простые сомножители. С этой точки
зрения уравнением (4.45) можно описать динамику двух типовых звеньев.
47
4.2.1. Колебательное звено
Колебательное звено имеет передаточную функцию
W (s)
k
TK2 s 2 2 K TK s 1
(4.47)
,
где Тk – постоянная времени, K - коэффициент демпфирования, k –
передаточный коэффициент. Уравнение колебательного звена получим из
(4.45) при b0 b1 0 :
2
dx2
2 d x2
Tk
2
T
x2 kx1 ,
k
k
2
dt
(4.48)
dt
где
Tk
a0
a
a1
b
, k 1
, k 2.
a2
2a2Tk 2 a0 a2
a2
Чтобы корни характеристического уравнения
Tk2 s 2 2 k s 1 0
(4.49)
были комплексно-сопряженными, коэффициент демпфирования k должен
находиться в интервале 0<k<1. При k =0 получим так называемое
консервативное звено с передаточной функцией
W s
k
Tk2 s 2 1
.
(4.50)
Такая система не рассеивает энергии и в ней протекают незатухающие
колебания. Если k >1, то звено может быть представлено в виде двух
последовательно соединенных апериодических звеньев с различными
постоянными времени, если k =1, то апериодические звенья имеют
одинаковые постоянные времени.
В качестве примера колебательного звена рассмотрим RLС-цепочку
(рис. 4.10).
По второму закону Кирхгофа:
U1 U L U R U 2 ,
где
di
1t
, U R iR, U c idt.
dt
C0
UL L
48
(4.51)
Исключая промежуточные
R
L
х1=U1
переменные i,U L ,U R , приведём
уравнение (4.51) к виду:
х2=U2
C
i
LC
d 2U 2
dt
2
RC
Рис.4.10
dU 2
U 2 U1.
dt
(4.52)
Уравнение (4.52) совпадает с
(4.48) при k=1, Tk
LC , k
R C
.
2 L
Характеристики звена:
а) Переходную характеристику колебательного звена находим как решение
дифференциального уравнения (4.48) при нулевых начальных условиях
x2 0 0, x2 0 0 и входном воздействии x1 t 1t .
Решение уравнения (4.48) есть сумма решения однородного
уравнения
2
x2
dt
2
d
Tk2
2 k Tk
dx 2
x2 0
dt
(4.53)
и частного решения уравнения (4.48), которое здесь можно считать
константой, равной k 1t k .
Однородному уравнению (4.53) соответствует характеристическое
уравнение
Tk2 s 2 2 k Tk s 1 0,
(4.54)
корни которого при условии 0 k 1 комплексно-сопряжённые:
s1,2
k
Tk
j
1
1 k2 .
Tk
(4.55)
Обозначим: / T ; 1 / T ; 1 1 2 . Величину 0 называют
k
k
0
k
c
k
Tk
частотой недемпфированных колебаний или собственной частотой.
Величина , называемая декрементом колебаний, показывает скорость
49
изменения амплитуды колебаний со временем, а величина c есть частота
свободных колебаний выходной величины x 2 t . .
Решение уравнения (4.48) может быть записано так:
x2 t A1e t e jct A2e t e jct k .
(4.56)
Продифференцируем выражение (4.56) по времени:
x 2 t jc A1e t e j c t jc A2 e t e j c t . (4.57)
Подставив в (4.56) и (4.57) начальные условия, получим:
A1 A2 k ;
j c A1 j c A2 0
(4.58)
Из уравнений (4.58) находим константы интегрирования А1 и А2:
k
;
A1 1 j
2
c
k
.
A2 1 j
2
c
(4.59)
Подставив (4.59) в выражение (4.56), получим переходную функцию
колебательного звена:
1
ht k 1 e t 1 j e j c t 1 j e j c t
c
c
2
k 1 e t cos c t
sin c t
c
(4.60)
2 c2 t
k 1
e sin c t 0
c
где
0 arctg
c
.
В первоначальных обозначениях решение (4.60) примет вид:
kt
2
2
T
1
1 k
e k
k
.
ht k 1
sin
t arctg
k
1 k2 Tk
50
(4.61)
В качестве примера на рис. 4.11
1,4
изображен график переходной
1,2
1
функции колебательного звена
0,8
0,6
0,4
для случая k 0,5 и k=1
t
0,2
0
0
Рис.
2
4.11.
4
6
8
График
t
10
2 3 2
3
h(t ) 1
e sin( t ),
3
2
3
переходной
функции колебательного звена при
где
k 0,5; k 1.
t
t .
Tk
б) Частотные характеристики колебательного звена имеют вид
W ( j )
j
где
k
(1 Tk2 2 ) j 2 k Tk
2k k Tk
(1 Tk2 2 ) 2 4 k2Tk2 2
АЧХ:
ФЧХ:
A( )
k (1 Tk2 2 )
(1 Tk2 2 ) 2 4 k2Tk2 2
(4.62)
A( ) e j ( ) ,
k
(1 Tk2 2 ) 2 4 k2Tk2 2
;
2 T
( ) arc tg k 2k 2 n .
1 Tk
(4.63)
(4.64)
Из выражения (4.64) видно, что при изменении частоты от 0 до
в точке =a=1/Tk аргумент функции arctg терпит разрыв 2-го рода. Так
как ( ) есть непрерывная функция частоты, построение ФЧХ следует
выполнять по формулам:
2 T
1
( ) arc tg k 2k 2
при 0 ;
Tk
1 Tk
2 T
1
(4.65)
( ) arc tg k 2k 2 при
.
Tk
1 Tk
51
АФХ
=
=0
звена
показана
на
рис. 4.12. Она начинается на
действительной оси в точке k
()
при 0. При частоте
W(j)
кривая
подходит
координат
=1/Tk
и
к
началу
касается
действительной оси. При этом
вектор W ( j ) приближается к
отрицательному
Рис.4.12. АФХ колебательного
звена при k=10, Tk=1c, k=0,5
направлению
вещественной оси. Выходная
величина при частоте отстает от входной на 180.
в) ЛАХ колебательного звена описывается выражением
L( ) 20 lg k 20 lg (1 Tk2 2 ) 2 (2 k Tk ) 2
(4.66)
При значениях частоты <1/Tk и >1/Tk ЛАХ (2.116) может быть
приближенно заменена прямыми линиями (асимптотами)
L1 ( ) 20 lg k
при 1/ Tk
L( )
2
L2 ( ) 20 lg k 20 lg(Tk ) при 1/ Tk
ЛАХ колебательного звена при малых асимптотически стремится к
прямой
20 lg k ,
имеющей
нулевой
наклон,
а
при
больших
асимптотически стремится к прямой L2 ( ), имеющей наклон – 40 дБ на
декаду:
L2 L2 (10 ) L2 ( ) 40 lg 10 Tk 40 lg Tk
40 lg 10 40 lg Tk 40 lg Tk 40дБ .
Кривые L2 ( ), в зависимости от величины k могут иметь
существенный пик при 1 / Tk : L( ) 20 lg k 20 lg 2 k ,
т.е.
при
величина
пика
по
сравнению
с
величиной
асимптотической ЛАХ 20 lg k равна 20 lg 2 k . Например, при k 0,5
52
пик составляет 0 дБ, а при k 0,05 величина пика равна 20 дБ. График
ЛФХ строят по формулам (4.65).
На рис. 4.13 приведены графики ЛАХ и ЛФХ для значений k 0,05 , k=1,
а
по
оси
частот
отложены
значения
нормированной
частоты
/ a Tk .
4.2.2. Дифференцирующее звено второго порядка
Дифференцирующее звено 2-го порядка имеет передаточную
функцию вида
W s k d2 s 2 2 d d s 1 ,
(4.67)
где k – передаточный коэффициент, d – постоянная времени, d –
коэффициент демпфирования.
L(), дБ
(), градус
=Tk
Рис.4.13. ЛЧХ колебательного звена при k=0,05
Предполагается,
что
корни
уравнения
d2 s 2 2 d d s 1 0
комплексно – сопряженные, т.е. выполняется условие 0 d 1.
Дифференциальное уравнение такого звена имеет вид
53
2 d 2 x1
dx1
x 2 k d
2
x
d d
1
2
dt
dt
а0=а1=0. В этом случае
k
и может быть получено из (4.45) при
b
b2
b1
; d 0 ; d
.
a2
b2
2 b0 b2
Характеристики звена:
а) Переходная характеристика
d (t )
x2 (t ) h(t ) k d2
2 d d (t ) 1(t ) .
dt
(4.68)
При скачкообразном изменении входной величины в момент времени t=0
на выходе получаются импульсы бесконечно большой амплитуды: 1) от 0
до ; 2) от до ; 3) от до k 1t .
б) Частотные характеристики дифференцирующего звена второго
порядка описываются формулой
W j k 1 d2 2 j 2k d d A e j ,
где АЧХ:
ФЧХ:
A k 1 d2 2 2 d d 2 ;
2 d d
arctg
при 0 1 ;
d
2 2
1 d
2
arctg d d при 1 .
d
1 d2 2
(4.69)
(4.70)
(4.71)
АФХ звена представляет собой параболу
U k
1
4k d2
V 2,
(4.72)
которая начинается из точки k при 0 (рис. 4.14).
Дифференцирующее звено второго порядка при частоте
вносит опережение по фазе, стремящееся к 1800.
в) ЛАХ звена определяется формулой
L 20 lg k 20 lg 1 d2 2
2 2 d d 2 .
54
(4.73)
Если сравнить формулу (4.73) с
формулой
(4.66)
ЛАХ
колебательного звена, то при
d Tk
=1/d
W(j)
отличаются
()
=0
Рис.4.14.АФХ дифференцирующего
звена 2-го порядка
d k
и
друг
от
они
друга
только знаком перед вторым
слагаемым.
Поэтому
дифференцирующего
для
звена
второго порядка кривая L
может быть получена как зеркальное отображение относительно прямой
20 lg k ЛАХ колебательного звена, а кривая ЛФХ может быть
получена как зеркальное отображение относительно оси
частот ЛФХ
колебательного звена.
4.3. Запаздывающее звено
Уравнение запаздывающего звена x2 (t ) x1 (t ),
где
(4.74)
- постоянное запаздывание.
Уравнение
вида
(4.74)
называют
уравнением
с
запаздывающим
аргументом. Применим к уравнению (4.74) преобразование Лапласа.
st
st
x 2 (t )e dt x1 (t )e dt.
0
(4.75)
0
Левый интеграл есть изображение выходной величины x 2 (t ) :
X 2 ( s ) x2 (t )e st dt.
(4.76)
0
Правый интеграл приведем к одному параметру интегрирования
t :
55
0
0
st
s (t )
e s d (t )
x1 (t )e dt x1 (t )e
0
(4.77)
e s x1 (t )e s (t ) d (t ) e s x1 (t )e s (t ) d (t ).
Первый интеграл в (4.77) равен нулю, т.к. x1 (t ) 0 t .
Заменим во втором интеграле параметр интегрирования:
u t .
При t
(4.78)
u 0, при t u .
Подставляя (4.78) в (4.77), получим:
st
x1(t )e dt e
s
0
x1(u )e
su
du e s X1 ( s ).
(4.79)
0
Подставляя в (4.75) выражения (4.76) и (4.79), окончательно
получим:
X 2 ( s) e s X1( s).
(4.80)
Передаточная функция запаздывающего звена
W ( s) e s .
(4.81)
Характеристики звена:
а) Переходная функция
x 2 t ht 1t
(4.82)
представляет собой единичную ступенчатую функцию, сдвинутую
во времени относительно входного скачка на величину .
б) Весовая функция точно также, как и переходная, повторяет
входное воздействие с запаздыванием во времени на величину :
x 2 (t ) w(t ) f (t ).
в) Частотные характеристики звена определяются формулой
W j e j .
АЧХ запаздывающего звена A 1, ФЧХ:
(4.83)
.
АФХ представляет собой окружность единичного радиуса с центром
в начале координат. При увеличении частоты вектор W j вращается по
часовой стрелке.
56
Тема 5. Структурные схемы непрерывных САУ
5.1. Общие понятия о структурной схеме
Часто систему автоматического управления можно рассматривать
как комбинацию динамических звеньев с определёнными типовыми или
нетиповыми
передаточными
функциями.
Изображение
системы
регулирования в виде совокупности динамических звеньев с указанием
связей между ними носит название структурной схемы. Структурная схема
Наименование
Звено
Узел
Обозначение
x1
(разветвление
x 2 W x1
x2
W
х
х
линии связи)
Сумматор
Таблица 5.1
Уравнение
х
x1
x3
x3 x1 x2
x2
Элемент сравнения (для
отрицательных
обратных связей)
x1
x3
x3 x1 x2
x2
может быть составлена на основе известных уравнений системы, и
наоборот, уравнения системы могут быть получены из структурной схемы.
Однако первая задача может иметь различные варианты решения
(различные структурные схемы для одной и той же математической
модели САУ), тогда как вторая задача имеет всегда единственное решение.
Элементы структурных схем приведены в таблице 5.1.
5.2. Преобразование структурных схем
57
Различные способы преобразования структурных схем облегчают
определение передаточных функций сложных систем автоматического
управления и дают возможность привести многоконтурную систему к
эквивалентной ей одноконтурной.
Рассмотрим приведение к одному эквивалентному звену простейших
сочетаний звеньев в структурных схемах.
а) Последовательное соединение звеньев (рис. 5.1)
x1
W1 (p)
x2
x3
W2 (p)
x4
W3 (p)
Рис. 5.1
W1(p)
x1
x1
Wэ(р)
W2(p)
х4
W3(p)
x2
x5
x3
x4
Рис. 5.3
Рис. 5.2
Уравнения звеньев структурной схемы на рис. 5.1:
x2 W1 ( p) x1; x3 W2 ( p) x2 ; x4 W3 ( p) x3 .
(5.1)
В результате взаимной подстановки выражений (5.1) получим
уравнение эквивалентного звена (рис.5.2):
x4=W3(p)W2(p)W1(p)x1.
Нетрудно видеть, что передаточная функция эквивалентного звена
Wэ=W3(p)W2(p)W1(p).
б) Параллельное соединение звеньев (рис. 5.3)
Запишем уравнения элементов схемы, приведенной на рис. 5.3.
x2 W1 ( p) x1; x4 W3 ( p) x1; x3 W2 ( p) x1; x5 x2 x3 x4 . (5.2)
В результате исключения промежуточных переменных из уравнений
(5.2) получим:
x5 W1 ( p ) W2 ( p ) W3 ( p) x1.
Таким образом, передаточная функция эквивалентного звена равна
Wэ ( p) W1 ( p ) W2 ( p ) W3 ( p).
58
в) Встречно-параллельное соединение звеньев (обратная связь) (рис.5.4).
Обратная связь может быть положительной, если сигнал x3 ,
снимаемый с выхода звена обратной связи, суммируется с сигналом x1 на
входе (рис. 5.4 а), и отрицательной, если x3 вычитается (рис. 5.4 б).
x1
а)
W1(p)
x3
x2
x1
б)
W2(p)
W1(p)
x3
x2
W2(p)
Рис.5.4
x1
а)
x2
W(p)
x1
x3
б)
x2
x3
W(p)
Рис.5.5
Для
определения
передаточной
функции
эквивалентного
звена
Wэ ( p ) x2 / x1 запишем следующие очевидные соотношения:
x2 W1 ( p)( x1 x3 );
x 3 W2 ( p ) x 2 ,
(5.3)
где знак плюс относится к положительной обратной связи, а знак минус – к
отрицательной обратной связи.
Исключим из выражений (5.3) переменную x3 , подставив второе
выражение в первое:
x 2 W1 ( p) x1 W1 ( p) W2 ( p) x 2 .
(5.4)
Решив уравнение (5.4) относительно x 2 , найдем передаточную
функцию эквивалентного звена
Wэ ( p )
W1 ( p)
,
1 W1 ( p) W2 ( p)
(5.5)
Здесь знак минус относится к положительной обратной связи, а знак
плюс – к отрицательной обратной связи.
59
Если в одной из ветвей структурных схем, приведенных на рис. 5.4,
нет звена (рис. 5.5), это означает, что передаточная функция данной ветви
равна единице. Для варианта схемы, приведенной на рис. 5.5а, имеем
W1 ( p ) W ( p ), W2 ( p) 1. Формула (5.5) для этого случая примет вид:
Wэ ( p)
W ( p)
.
1 W ( p)
(5.6)
Для варианта схемы, приведенной на рис. 5.5 б, соответственно
получим:
Wэ ( p)
1
.
1 W ( p)
(5.7)
5.3. Обобщенная структурная схема и передаточные функции САУ
На рис. 5.6 приведена обобщенная структурная схема замкнутой
системы автоматического управления.
f(t)
УО
W f ( p)
g(t)
ЧЭ
x(t)
УУ
u(t)
Wy ( p)
y(t)
W0 ( p)
Рис. 5.6
Обозначения на рис. 5.6: ЧЭ – чувствительный элемент; УУ –
управляющее устройство; УО – управляемый объект; y (t ) – управляемая
величина; g (t ) - задающее воздействие; x(t ) - рассогласование на выходе
ЧЭ (ошибка управления); u (t )
- управляющее воздействие;
f (t ) -
возмущающее воздействие; Wy ( p) - передаточная функция управляющего
60
устройства; Wo ( p ) - передаточная функция объекта по управляющему
воздействию; W f ( p) - передаточная функция объекта по возмущающему
воздействию.
В соответствии со структурной схемой на рис. 5.6 уравнения
движения замкнутой САУ имеют вид:
а) уравнение управляемого объекта:
y(t ) W0 ( p) u (t ) W f ( p) f (t );
(5.8)
б) уравнение управляющего устройства:
u (t ) W y ( p) x(t );
(5.9)
в) уравнение чувствительного элемента:
x(t ) g (t ) y (t ).
(5.10)
Подставив выражение (5.9) в (5.8), получим уравнение:
y(t ) W ( p) x(t ) W f ( p) f (t ),
где W ( p) Wo ( p) W y ( p)
(5.11)
- передаточная функция так называемой
разомкнутой системы.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить
как отношение изображений управляемой величины и ошибки при
нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю:
W ( s)
Y ( s)
.
X ( s)
(5.12)
Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое
значение в теории автоматического управления, так как многие методы
анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.
Рассмотрим
чувствительного
замкнутую
элемента
систему,
(5.10),
которое
используя
уравнение
называют
уравнением
замыкания. Вначале подставим выражение для ошибки управления (5.10) в
уравнение (5.11):
61
y(t ) W ( p) g (t ) W ( p) y(t ) W f ( p) f (t ).
(5.13)
Решим (5.13) относительно управляемой величины.
y (t )
W f ( p)
W ( p)
g (t )
f (t ).
1 W ( p)
1 W ( p)
(5.14)
W ( p)
1 W ( p)
(5.15)
Выражение
Ф( p )
называют передаточной функцией замкнутой системы. Она устанавливает
связь между управляемой величиной и задающим воздействием при
равенстве
нулю
возмущающих
воздействий.
Теперь
выполним
подстановку уравнения (5.11) в выражение для ошибки управления (5.10),
получив тем самым уравнение, определяющее влияние воздействий g(t) и
f(t) на ошибку управления:
x(t )
W f ( p)
1
g (t )
f (t ).
1 W ( p)
1 W ( p)
Выражение
Фx ( p ) 1 Ф( p )
1
1 W ( p)
называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно
дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе
при равенстве нулю возмущающих воздействий.
Передаточные функции управляющего устройства W y ( p) и объекта
управления W0 ( p), W f ( p) в общем случае есть отношения полиномов:
W y ( p)
B y ( p)
C y ( p)
; W0 ( p)
N ( p)
B0 ( p)
.
; W f ( p) 0
C0 ( p)
C0 ( p)
(5.16)
Запишем с учетом обозначений (5.16) выражения для передаточных
функций разомкнутой и замкнутой систем:
W ( p ) W0 ( p ) W y ( p )
Ф( p )
W ( p)
1 W ( p)
B0 ( p ) B y ( p )
C0 ( p) C y ( p)
B( p)
B( p)
.
B( p) C ( p) D( p)
62
B( p)
;
C ( p)
(5.17)
Из формул (5.17) видно, что характеристический полином замкнутой
системы D(p) равен сумме полиномов числителя и знаменателя
разомкнутой системы.
Приравнивание нулю характеристического полинома D(p) дает
характеристическое
уравнение
замкнутой
системы:
D( p) B( p) C ( p) 0.
Оно может быть записано в более удобной форме, которая
1 W ( p) 0.
непосредственно получается из (5.15):
5.4. Приближенный способ построения логарифмических частотных
характеристик одноконтурных систем
Структурную схему САУ можно привести к одноконтурной схеме
(рис. 5.7). Если разомкнуть цепь обратной связи, получим разомкнутую
систему с передаточной функцией W ( s) Y ( s) / G ( s). Передаточная
функция разомкнутой одноконтурной системы в общем случае может
иметь вид
W s
i 1
i 1
i 1
ki i s 1 d2i s 2 2 d i d i s 1
i 1
i 1
(5.18)
,
s (Ti s 1) (Tk2 s 2 2 k i Tk i s 1)
i
где - знак произведения. Обозначим K k .
i
i 1
Формулу (5.18) преобразуем к виду
W s
s 1 d2i s 2 2 d i d i s 1
v i
K
s
i 1
i 1
1
1
,
2 2
T
s
1
T
s
2
T
s
1
i 1 i
i 1
k k
ki
i
i
который можно записать как произведение передаточных функций
типовых звеньев:
63
K
W s Wi s ,
s i 1
(5.19)
где общее число типовых звеньев за исключением
интегрирующих (или идеальных дифференцирующих при v 0).
G(s)
Y(s)
W(s)
Рис. 5.7
Подставим в (5.19) s j и получим частотную передаточную функцию
разомкнутой системы:
W j
K
W j
i
j i 1
.
(5.20)
Все сомножители уравнения (5.20) можно записать в показательной форме:
K
W j e
j
2
Ai e
j i
i 1
j i
2
e i 1
.
K
Ai
i 1
(5.21)
Так как функцию W j можно представить в виде W j A e j ,
то можно записать:
A
K
Переходя
Ai ;
i 1
к
v
2
i .
(5.22)
i 1
логарифмической
амплитудной
частотной
характеристике разомкнутой системы, получим выражение
L 20 lg A 20 lg k v 20 lg 20 lg Ai ,
(5.23)
i 1
из которого следует, что ЛАХ разомкнутой системы равна сумме ЛАХ
типовых звеньев, последовательно соединённая цепь которых образует
передаточную функцию разомкнутой системы. Первое слагаемое в правой
части выражения (5.23), заключенное в скобки, есть низкочастотная ветвь
ЛАХ разомкнутой системы.
64
Порядок построения ЛАХ одноконтурной системы по выражению
(5.23):
1.
Определяют
сопрягающие частоты
асимптотических
ЛАХ
отдельных звеньев САУ и отмечают их вдоль оси частот. При этом
определяется интервал по оси частот для построения ЛАХ. Он находится
между
наименьшей
сопрягающей
частотой
min
и
наибольшей
сопрягающей частотой max .
2. Проводят низкочастотную асимптоту ЛАХ, которая при min
определяется уравнением
Lнч 20 lg k v 20 lg ,
(5.24)
где v порядок астатизма системы, равный количеству интегрирующих
звеньев.
График уравнения (5.24) есть прямая линия с наклоном 20v дБ/дек,
имеющая при частоте 1 ординату Lнч 1 20 lg k .
3. После каждой из сопрягающих частот i наклон характеристики
L изменяют по сравнению с тем наклоном, который эта характеристика
имела до сопрягающей частоты i , в зависимости от того, какому звену
принадлежит эта частота (табл. 5.2).
4. Уточняют вид L при помощи таблиц поправок. Следует
отметить, что высокочастотная асимптота ЛАХ, т.е. ее часть при max,
должна иметь наклон 20(n m) дБ/дек, где n порядок знаменателя, а
m порядок числителя передаточной функции W s .
Таблица 5.2.
№
п/п
Тип звена
Передаточная
Приращение наклона
функция звена
асимптоты ЛАХ
(дБ/дек)
65
1
Апериодическое
k
Ts 1
-20
2
Колебательное
k
T s 2Ts 1
-40
2 2
3
Дифф. 1го пор.
k s 1
4
Дифф. 2го пор.
k 2 s 2 2s 1
+40
фазово-частотная
характеристика
Логарифмическая
+20
(ЛФХ)
одноконтурной системы так же, как и ЛАХ, может быть получена в
результате простого сложения ординат фазовых характеристик типовых
звеньев, входящих в ее состав. Следует отметить, что ЛФХ при частоте,
стремящейся к бесконечности, стремится к значению 0,5 n m , где n порядок знаменателя, а m - порядок числителя передаточной функции
W s .
ЛАХ разомкнутой системы может быть разбита на три характерных
участка (рис. 5.8):
1-й участок: область низких частот – участок ЛАХ, лежащий в
области частот, меньших первой сопрягающей частоты. Вид ЛАХ в этой
области определяет порядок астатизма и статическую точность системы.
Для статических систем ЛАХ на этом участке – горизонтальная
прямая, отстоящая от оси частот на величину 20 lg k . Для астатических
систем -го порядка характеристика имеет наклон, равный 20 дБ / дек.
2-й участок: область средних частот. Вид ЛАХ в этой области определяет в
основном запас устойчивости и качество САУ. В этом интервале
находится частота среза системы c , характеризующая время переходного
процесса при достаточных запасах устойчивости. Область средних частот
заканчивается частотой max , равной наибольшей сопрягающей частоте.
66
3-й участок: область высоких частот ( [ max , )). Этот участок
L()
c
Область
низких
частот
min
max
Область средних
частот
Область
высоких
частот
Рис. 5.8
может быть назван интервалом малых параметров. При уточнении и
повышении порядка математической модели САУ этот участок может
содержать сопрягающие частоты, пренебрежение которыми не оказывает
существенного влияния на вид ЛАХ в интервале средних частот.
Тема
6.
Метод
переменных
состояния.
Управляемость
и
наблюдаемость непрерывных САУ
6.1. Метод переменных состояния
Метод переменных состояния основан на понятии «состояние
системы». Состояние динамической системы описывается совокупностью
физических
переменных
x1 (t ), x 2 (t ), ..., x n (t ),
характеризующих
поведение системы в будущем при условии, если известно состояние в
исходный момент времени и приложенные к системе воздействия.
Поясним понятие переменных состояния на примере дистанционной
следящей системы (рис. 6.1). Будем считать, что все звенья системы
линейны.
Таким
образом,
в
рассматриваемой
системе
отпадает
необходимость линеаризации. Разобьем систему на динамические звенья и
найдем их уравнения.
67
Чувствительный элемент. В качестве чувствительного элемента
использованы два сельсина: сельсин-датчик СД и сельсин-приемник СП,
включенные по трансформаторной схеме. Ротор СД связан с командной
1
1
СД
У
>
СП
Д
д
Р
2
U2
2
U1
Рис 6.1.Принципиальная схема дистанционной следящей системы
осью и поворачивается вместе с ней на угол 1. Ротор СП связан с
исполнительной осью и поворачивается вместе с ней на угол 2 . Роторная
обмотка СД подключена к источнику переменного тока. Магнитный поток,
создаваемый этой обмоткой, наводит э.д.с. в статорных обмотках СД,
соединенных по схеме «звезда». Статорные обмотки СП служат
электрической нагрузкой для СД и создают в СП магнитный поток,
направление которого совпадает с магнитным потоком, создаваемым в СД.
Если магнитная ось роторной обмотки СП перпендикулярна вектору
индукции магнитного поля, то э.д.с. в этой обмотке не образуется и
напряжение на ее выходе U1 0. В этом случае магнитные оси роторов СД
и
СП
взаимно
перпендикулярны.
68
При
повороте
командной
оси
перпендикулярность между осями роторов СД и СП нарушается на
величину ошибки рассогласования
1 2 ,
(6.1)
и на выходе роторной обмотки СП появится напряжение
U1 k1 ,
где
(6.2)
k1-коэффициент передачи сельсинов.
Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи
схемы:
W1 p
В .
k1
радиан
U1
(6.3)
Усилитель. Напряжение U1 поступает на вход усилителя У. Считая
усилитель инерционным звеном с очень малой постоянной времени T y ,
можно записать его передаточную функцию в виде
W2 ( p)
k2
U
2,
T y p 1 U1
(6.4)
где k 2 - коэффициент усиления по напряжению; U 2 - напряжение на
выходе усилителя.
Дифференциальное уравнение усилителя в соответствии с его
передаточной функцией имеет вид
Ty
dU 2
U 2 k 2U 1 .
dt
(6.5)
Двигатель. С выхода усилителя напряжение U2 поступает на
управляющую обмотку асинхронного двухфазного двигателя Д. В
установившемся режиме работы при постоянных значениях напряжения U2
и момента сопротивления Мс угловая скорость вращения выходного вала
двигателя равна
д=k3U2-k4Mc ,
(6.6)
где k3, k4– передаточные коэффициенты, зависящие от конструктивных
параметров двигателя.
69
В переходных режимах, вызванных изменением величин U2 и Мс,
процесс изменения скорости д во времени может быть смоделирован
дифференциальным уравнением первого порядка:
Tм
dд
dt
д k3U 2 k 4 M c ,
(6.7)
где Тм – электромеханическая постоянная времени двигателя.
Угол поворота выходного вала двигателя д связан с угловой
скоростью д кинематическим дифференциальным уравнением
dд
д .
dt
(6.8)
Уравнения (6.7) и (6.8) запишем в символической форме
д W3.1 p U 2 W3.2 p M c ; д W3.3 p д ,
(6.9)
где передаточные функции W3.1 p , W3.2 p , W3.3 p имеют вид:
W3.1 p
k3
,
Tм p 1
W3.2 p
k4
1
, W3.3 p .
Tм p 1
p
(6.10)
Редуктор. Двигатель через редуктор Р поворачивает исполнительную
ось и связанный с ней ротор СП на угол 2 , уменьшая ошибку .
Передаточная функция редуктора равна его коэффициенту передачи,
определяемому передаточным отношением.
2
k5 .
д
(6.11)
2=k5 д .
(6.12)
W4 p
Уравнение редуктора
Объединим уравнения (6.1), (6.2), (6.5), (6.7), (6.8), (6.12) в одну
систему, исключив из неё алгебраические уравнения путём подстановки.
dU 2 k1k 2
kk
1
1 1 2 2 U 2 ;
dt
Tу
Tу
Tу
dд k3
1
k
U 2 д 4 M c ;
dt
Tм
Tм
Tм
70
(6.13)
d 2
k 5 д .
dt
(6.13)
В качестве переменных состояния введем переменные
x1 (t ) 2 (t );
Задающее
x3 (t ) U 2 (t ).
x2 (t ) д (t );
воздействие
обозначим
переменной
u t 1 t ,
возмущающее воздействие обозначим переменной f (t ) M c (t ).
Подставляя введенные обозначения в уравнения (6.13), получим
dx1
k5 x2 ;
dt
dx2 k3
1
k
x3
x2 4 f ;
dt Tм
Tм
Tм
dx3 k1k2
kk
1
u 1 2 x1 x3.
dt
Ty
Ty
Ty
(6.14)
Система дифференциальных уравнений (6.14) и является системой
уравнений в переменных состояния для рассматриваемой системы.
В векторно-матричной форме уравнения (6.14) имеют вид:
A Bu Mf ,
где
(6.15)
nn матрица размером n n;
A aij
B bi n1 , M mi n1
матрицы-столбцы. Порядок системы уравнений в рассматриваемом
примере n 3.
Матрицу – столбец
xi n1
называют
вектором
состояния.
Матрицы А, В, М для рассматриваемого примера имеют вид:
0
A 0
k1k 2
Ty
k5
1
Tм
0
0
0
0
k3
0 ; M k 4 .
;
B
k k
Tм
T
м
1 2
1
0
Ty
Ty
71
(6.16)
Для полного описания системы к уравнениям (6.16) необходимо
добавить
уравнение,
устанавливающее
связь
между
переменными
состояния и выходными переменными системы регулирования. В
рассматриваемом случае выходная переменная одна, это угол поворота
исполнительной оси x1 2 , которую обозначим переменной y:
y x1.
(6.17)
В матричной форме уравнение выхода (6.17) имеет вид:
y C,
(6.18)
где C Ci 1n матрица выхода, в данном примере - матрица – строка
размером 1 3 :
C 1 0 0.
6.2. Управляемость и наблюдаемость
Постановка задачи
Дана линейная многомерная стационарная система управления,
поведение которой описывается уравнениями состояния и выхода:
X (t ) A X (t ) B U (t ),
X (t 0 ) X 0 ,
Y (t ) CX (t ),
(6.19)
где X - n – мерный вектор состояния;
- r – мерный вектор управления;
U
t
- время, t t0 , tk - промежуток времени функционирования
системы;
Y k - мерный вектор выхода;
A, B, C - матрицы размера (n n), (n r ), (k n) соответственно;
X 0 - начальное состояние.
Система (6.19) называется полностью управляемой, если существует
такое управляющее воздействие U (t ), определенное на конечном интервале
времени t0 , tk , которое переводит систему из любого начального состояния
X (t0 ) в любое заданное конечное состояние X (tk ) .
72
Система (6.19) называется полностью наблюдаемой, если по
реакции Y (t ) на выходе системы на промежутке времени t0 , tk при
заданном управляющем воздействии U (t ) можно определить начальное
состояние X (t0 ) .
Постановка задачи формулируется следующим образом.
Пусть
известны
матрицы
A, B, C
системы
(6.19).
Требуется
определить, является ли система полностью управляемой и наблюдаемой.
Критерии управляемости и наблюдаемости.
Условия управляемости для системы, описываемой уравнениями
(6.19), определяются следующим критерием, полученным Калманом.
Необходимое и достаточное условие для управляемости системы
(6.19) заключается в том, чтобы матрица
Q B AB A 2 B ... A n1 B
(6.20)
имела ранг, т.е. число линейно независимых строк, равный размерности
rang Q n.
вектора состояния:
Необходимые и достаточные условия для полной наблюдаемости
состоят в том, чтобы матрица
R C T AT C T ( AT ) 2 C T ... ( AT ) n1 C T
имела ранг, равный размерности вектора состояния:
Замечание:
если
линейная
стационарная
(6.21)
rang R n.
система
управления
описывается уравнениями
a0 x ( n ) (t ) a1 x ( n1) (t ) ... an1 x (t ) an x(t ) g (t ), y(t ) x(t ),
то,
вводя
обозначения
x1 x, x2 x, ..., xn x( n 1) , u g ,
дифференциальные уравнения системы можно записать в эквивалентной
форме:
73
1
0 0
0
0
x1
x1
0
0
1 0 0
x
2
x2 u ,
an an 1 an 2
a1 1
x
x
n a
a0
a0
a0 n a0
0
x1
x
y (1 0 0) 2 .
xn
Пример определения управляемости и наблюдаемости системы
Исследовать управляемость и наблюдаемость системы:
x1 x2 u ,
x2 5 x1 2 x3 u ,
x3 2 x1 2 x3 u ,
y 2 x1 x2 .
1. В уравнениях состояния и выхода выделим матрицы A, B, C:
0
0 1
1
A 5 0
2 , B 1 , C 2 1 0 , n 3, r 1, k 1.
2 0 2
1
2. Составляем матрицы управляемости и наблюдаемости:
5 14
1 1 7
2
T
T T
T 2 T
Q B AB A B 1 7 13 , R C A C ( A ) C 1 2
5 .
1
0
4 10
2 8
2
3. Определяем ранги матриц путем приведения их к треугольной
форме методом Гаусса:
1 7 1
1 7 1
1
1
Q 1 7 13 0 6
6 0 6
1
4 10 0 3
3 0
0
5 14 2
5 14 2
2
R 1 2
5 0
1 4 0
0
2 8 0
2 8 0
7
6 ,
0
5 14
1 4 ,
0
0
rang Q 2 n, rang R 2 n.
Вывод: система не является полностью управляемой и наблюдаемой.
74
Понятия управляемости и наблюдаемости важны, например, тогда,
когда алгоритм управления формируется не в зависимости от ошибки
системы, а в функции переменных состояния:
u u ( x1 , x2 , ..., xn ).
Однако, в изложенном выше смысле они не всегда совпадают с
практическими представлениями. Даже если какая-либо переменная
состояния и может быть вычислена по доступным для измерения
выходным величинам, обработка этих величин, особенно при наличии
помех, может быть сложной. Поэтому практически наблюдаемыми
переменными обычно считаются те из них, которые могут быть
непосредственно измерены теми или иными датчиками.
Тема 7. Устойчивость линейных непрерывных САУ
7.1. Основные понятия об устойчивости
Пусть уравнения состояния системы, характеризующие ее свободное
движение,
представлены
системой
нелинейных
дифференциальных
уравнений
dyk
Yk ( y1 , y2 , ..., yn ); (k 1, 2, ..., n),
dt
(7.1)
где yk - обобщенные координаты системы, т.е. переменные, описывающие
ее состояние;
Yk
-
известные
функции,
определенные
в
некоторой
фиксированной области пространства переменных y1, y2 , ..., yn .
Пусть величины
y10 , y20, ....., yn 0
обозначают начальные значения
переменных y1, y2 , ..., yn .Каждой системе начальных значений y10, y20, ....., yn 0
соответствует решение уравнений (7.1)
yk yk ( y10, y20, ....., yn 0 , t ); (k 1, 2, ..., n).
75
(7.2)
Среди решений (7.2) имеется так называемое очевидное решение
уравнений
(7.1), характеризующее
установившийся
процесс,
когда
переменные состояния принимают постоянные значения
y1 y1 , y2 y2 , ..., yn yn .
(7.3)
Если подставить решение (7.3) в дифференциальные уравнения
(7.1), то левые части уравнений обратятся в ноль. Тогда решение (7.3)
можно получить как корни уравнений
Yk ( y1, y2 , ..., yn ) 0;
(k 1, 2, ..., n).
(7.4)
Решение (7.3) входит в семейство решений (7.2) и определяется
начальными условиями yk (0) yk ; (k 1, 2, ..., n).
(7.5)
Введем отклонения xk координат yk от установившихся значений:
xk yk yk .
(7.6)
Подставляя в уравнения (7.1) значения обобщенных координат
yk xk yk , получим:
dxk
Yk ( x1 y1 , x2 y2 , ..., xn yn ); (k 1, 2, ..., n).
dt
(7.7)
Так как y1 , y2 , ..., yn постоянные величины, в правой части уравнения
(7.7) записана функция переменных x1 , x2 , ..., xn :
Yk ( x1 y1 , x2 y2 , ..., xn yn ) X k ( x1 , x2 , ..., xn ) ; (k 1, 2, ..., n).
(7.8)
Подставив обозначения (7.8) в уравнения (7.7), получим уравнения
возмущенного движения:
dxk
X k x1 , x2 ,..., xn ;
dt
Формула
(7.6)
k 1,2,..., n .
определяет
преобразование
(7.9)
переноса
начала
координат в точку
yk yk ; (k 1, 2, ..., n).
(7.10)
76
Решению
(7.3)
в
соответствует решение
По
терминологии
пространстве
координат
(k 1, 2, ..., n)
xk ;
x1 0, x2* 0, ..., xn* 0 .
А.М. Ляпунова
(7.11)
уравнения
(7.11)
называют
начальные
значения
невозмущенным движением системы.
При
t t0
переменные
xk
принимают
x k t 0 x ko ; k 1,2,..., n , которые называют возмущениями. Каждой
заданной системе таких возмущений отвечает однозначное и непрерывное
решение xk xk x10 , x20 ,..., xn 0 , t (k 1, 2, ..., n) уравнений (7.9). Это
решение называют возмущенным движением системы.
В большинстве задач теории автоматического управления функции
X k ( x1, x2 , ..., xn ) допускают разложение в степенные ряды, сходящиеся в
n
некоторой H-окрестности начала координат (7.11):
xk2 H ,
k 1
если H 0 достаточно мала. В этих случаях уравнениям (7.9) можно
придать вид
dxk
ak1x1 ... akn xn Fk x1, x2 ,..., xn ; k 1, 2,..., n ,
dt
(7.12)
где aki , (k , i 1, 2, ..., n) - постоянные коэффициенты, полученные как
значения частных производных функций
Xk
по переменным
вычисленные при нулевых значениях переменных;
Fk
xi ,
функции,
содержащие члены второго и выше порядка малости.
На практике судят об устойчивости решения (7.11), рассматривая
лишь уравнения, называемые уравнениями 1-го приближения вместо
уравнений (7.12):
dxk
a k1 x1 ... a kn xn ; k 1, 2,..., n .
dt
(7.13)
А.М. Ляпунов показал, что все случаи исследования уравнений (7.13)
следует разделять на категории некритических и критических случаев. К
77
категории некритических относятся случаи, в которых вопрос об
устойчивости
(или
неустойчивости)
невозмущенного
движения
однозначно разрешается на основании исследования уравнений 1-го
приближения (7.13).
Запишем уравнения (7.13) в векторно-матричной форме:
X AX ,
(7.14)
где X ( x1, x2 , ..., xn )T - вектор состояния;
nn - квадратная матрица.
A aij
Характеристическое уравнение системы (7.13)
a11
D ( )
a12
...
a1n
a21 a22 ...
a2 n
...
...
...
...
an1
an 2
... ann
0
(7.15)
приводится к виду
a0n a1n 1 ... an 1 an 0.
(7.16)
Пусть все корни уравнения (7.16) различны. Тогда решение
уравнения (7.15) для переменной xi имеет вид:
xi (t ) Ai1e1t Ai 2e2t ... Ainent ,
(7.17)
где 1, 2 , ..., n - корни характеристического уравнения; Ai1, Ai 2 ,..., Ain постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.
Пусть k - вещественный корень. Если k 0, то член Aik e k t с
течением времени непрерывно возрастает и стремится к бесконечности. В
этом случае xi (t ) также стремится к бесконечности и система неустойчива.
t
Если k 0, то член Aik e k с течением времени стремится к нулю.
Пусть один из корней - комплексный, тогда всегда существует
сопряженный с ним :
78
j ; j
(7.18)
В этом случае константы интегрирования также будут комплексносопряженными величинами:
Ai a jb; Ai a jb.
(7.19)
Составляющая решения (7.17), соответствующая корням (7.18), имеет вид:
Ai e t Ai e t et ( Ai Ai cos t j Ai Ai sin t
a
2et a cos t b sin t 2bet cos t sin t
b
Обозначим
(7.20)
a
tg , где - угол фазового сдвига. Окончательно решение
b
(7.20) примет вид:
Ai e t Ai e t 2 a 2 b 2 et sin( t ).
(7.21)
Если 0, то имеют место колебания с частотой и нарастающей
амплитудой – движение неустойчиво.
Если 0, получим незатухающие колебания – система на границе
устойчивости.
Если
0,
то
амплитуда
колебаний
с
течением
времени
уменьшается – колебания затухают.
Отсюда можно сделать следующие выводы:
- если все вещественные части корней характеристического
уравнения отрицательны, то система устойчива;
- если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную
часть, то система неустойчива.
- если среди корней характеристического уравнения имеется один
или несколько нулевых корней, а вещественные части остальных корней
отрицательны, то говорят, что система нейтрально устойчива. Этот случай
называют критическим и для определения устойчивости
системы
требуется специальное исследование нелинейных членов разложения.
79
7.2. Общая характеристика критериев устойчивости
Критериями устойчивости называют правила, которые позволяют
определить
устойчивость
системы
без
вычисления
корней
характеристического уравнения.
Критерии
устойчивости
можно
разбить
на
две
группы:
алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям относят
критерий устойчивости Рауса и критерий устойчивости Гурвица. Эти
критерии для систем, описываемых дифференциальными уравнениями
выше 4-й степени, дают лишь возможность определить, устойчива ли
система. Но их применение для определения изменения параметров
системы с тем, чтобы сделать ее устойчивой, затруднительно.
Частотные критерии могут быть разделены на две подгруппы:
1. Исследуется непосредственно замкнутая система (критерий
устойчивости Михайлова).
2. Об устойчивости замкнутой системы судят по частотным
характеристикам
разомкнутой
системы
(критерий
частотных
критериев
является
устойчивости
Найквиста).
Достоинством
возможность
использования
частотных
наглядность
характеристик,
и
полученных
экспериментально. Во многих случаях частотные критерии устойчивости
дают представление о качестве процесса регулирования.
7.3. Критерий устойчивости Гурвица
Этот критерий был сформулирован в 1895 году математиком
А. Гурвицем.
Для характеристического уравнения (7.16) составим квадратную
матрицу коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов:
80
a1 a3 a5 0 0
a
0 a2 a4 0 0
0
a1 a3 0 0
a0 a2 0 0 .
0
0
0
an 1 0
0
0
0
0
an 2 an
(7.22)
Эта матрица составляется следующим образом.
По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов
записывают все коэффициенты по порядку от a1 до an . Каждая строка
дополняется коэффициентами с нарастающими индексами слева направо
так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В
случае отсутствия коэффициента, а также, если индекс его должен быть
меньше нуля или больше n, на соответствующем месте в матрице (7.22)
пишут нуль.
Критерий устойчивости сводится к тому, что при a0 0 должны
быть больше нуля все n определителей Гурвица, получаемых из
квадратной матрицы коэффициентов. Обозначим определители Гурвица
символами 1 , 2 , 3 , ..., n .
Индексы определителей Гурвица указывают их порядок, а также
индекс диагонального коэффициента матрицы (7.22), который занимает
место в правом нижнем углу соответствующего определителя Гурвица.
Условия устойчивости по критерию Гурвица записываются в виде:
1 a1 0 ; 2
a1 a3
a0
a2
a1 a3
a5
0; 3 a0 a2 a4 0; ….; 0.
n
0 a1 a3
Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в
последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то
последнее неравенство запишем в виде:
81
n an n 1 0.
Так как предыдущее неравенство имеет вид n 1 0, то условие
положительности определителя n , сводится к условию an 0.
Таким образом, критерий Гурвица формулируется следующим
образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы при a0 0 определители Гурвица 1 , 2 , ..., n были
положительными.
Необходимые,
но
недостаточные,
условия
устойчивости
заключаются в том, что в случае уравнения n-го порядка все
коэффициенты a0 , a1 , a2 , ..., an должны быть положительны и ни один из
них не должен равняться нулю.
7.4. Принцип аргумента
Рассмотрим
алгебраическое
уравнение
n-й
действительными коэффициентами: D( ) a0 a1
n
n 1
степени
с
... an 1 an 0.
Если через 1 , 2 , ..., n обозначить корни этого уравнения, то
многочлен D( ) можно представить в виде произведения простых
сомножителей:
D( ) a0 ( 1 )( 2 ) ... ( n ).
На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне
определенная точка. Геометрически каждый корень i можно изобразить в
виде вектора, проведенного из начала координат к точке ( i , i ), где i вещественная часть корня i , а i - мнимая (рис. 7.1 а).
Если положить j в D( ), то
n
D( j ) a0 ( j 1 )( j 2 )...( j n ) a0 j i .
i 1
82
(7.23)
j
a)
i
б)
j
i
j
argi
i
i
i
i
i
0
0
Рис.7.1
Изобразим на комплексной плоскости элементарный вектор i j i
(рис. 7.1 б). Этот вектор является разностью двух векторов: вектора j и
вектора i Концы элементарных векторов i находятся на мнимой оси в
точке j , а начала – в точках с координатами ( i , i ) . При изменении
от 0 до концы векторов i скользят по мнимой оси, а векторы i при
этом поворачиваются. Направление вращения вектора против часовой
стрелки с ростом принимают за положительное. Если начало вектора i
лежит в левой части комплексной плоскости (вещественная часть корня i
отрицательная), то при изменении от 0 до вектор i вращается в
положительную сторону и изменение его аргумента
arg i arg i ( j) arg i ( j 0) 0.
0
Для всех корней
lim arg i j
Начальные
значения
аргументов
2
.
векторов
i
различны
в
зависимости от четырёх возможных вариантов расположения корней на
комплексной
плоскости
(рис. 7.2).
Найдем
изменение
аргумента
элементарных векторов i j при изменении от 0 до для
приведённых на рис.7.2 вариантов расположения корней.
83
j
i(j0)
argi(j0)=0
i(j0)
i
j
0
j
i
j
arg i j 0 i
i
i
i
0 -
argi(j0)=+i
i(j0) i
argi(j0)= -i
в)i<0; i0
i i
i
-i 0
i 1 j 0 i j 0
i
i
0
б)i>0; i=0
а)i<0; i=0
i(j0)
argi(j0)=
arg i j 0 i
г)i>0; i0
Рис.7.2
Вариант 1. Вещественный корень в левой части КП.
arg i ( j ) arg i ( j) arg i ( j 0)
0
2
0
2
.
Вариант 2. Вещественный корень в правой части КП.
arg i ( j )
0
.
2
2
Вариант 3. Пара комплексно-сопряженных корней в левой части КП.
arg i ( j )
0
2
( i )
2
i;
arg i j
0
2
i.
Векторы i j и i j запишем в показательной форме:
i j i j e ji ( ) , i j i j e j i ( ) i j e j i ( ) ,
где i j arg i j ;
i j arg i j .
84
В выражении для полинома D( j ) векторы i j и i j являются
сомножителями. Запишем формулу для произведения векторов i j и
i j :
i j i j i j e j ( i ( ) ( i ( )) .
2
Найдем изменение аргумента произведения векторов i j и
i j при изменении от 0 до :
argi j i j arg i j arg i j
0
0
0
2
i
2
i
.
Вариант 4. Пара комплексно-сопряженных корней в правой части КП.
arg i j
0
2
i
2
i ; arg i j
0
2
i
2
i;
По аналогии вариантом 3 найдем изменение аргумента произведения
векторов i j и i j при изменении от 0 до :
arg i j i j arg i j arg i j
0
0
0
2
i
2
i
.
Запишем выражение для вектора D j (см. (7.23)).
n
j i
D j a 0 i j a 0 i j e ji a 0 i j e i 1
i 1
i 1
i 1
D j e j .
n
n
n
Аргумент (или фаза) вектора D j равен сумме аргументов
элементарных векторов:
n
n
i 1
i 1
arg D j i arg i j .
Предположим, что уравнение D =0 имеет m корней в правой части
КП и, следовательно, n-m корней в левой части КП. Пусть при этом q
правых корней и r левых корней – вещественные. Тогда в правой части КП
количество пар комплексно-сопряженных корней будет равно (m-q)/2 а в
85
левой (n-m-r)/2 При возрастании от 0 до изменение аргумента вектора
D j или угол поворота D j будет
n
arg D j arg i j r
0
i 1
0
2
1
n m r q 1 m q
2
2 2
n m m n 2m .
2
2
2
7.24
Если все корни уравнения D =0 находятся в левой части КП, то
arg D j n .
2
0
7.5. Критерий устойчивости Найквиста
Данный критерий вытекает из принципа аргумента. Характерной его
особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости
замкнутой системы делается в зависимости от вида АФЧХ или ЛЧХ
разомкнутой системы.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в
виде (см. (5.17)):
Bs b0 s m b1s m 1 ... bm где m<n.
W s
,
C s
c0 s n c1s n 1 ...cn
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
W1s 1 W s 1
B s C s B s D s
,
C s
C s
C s
(7.25)
где Ds C s Bs характеристический полином замкнутой
системы, степень которого совпадает со степенью характеристического
полинома разомкнутой системы C s :
Для
первого
и
последнего
Ds a0 s n a1s n 1 ...an .
коэффициентов
полинома
a0 c0 , an cn bm .
справедливы равенства:
Сделаем подстановку s j в выражение (7.25):
86
D s
W1 j
D j
1 W j .
C j
(7.26)
Предположим, что разомкнутая система устойчива. Это значит, что
все корни характеристического уравнения C =0 находятся в левой части
КП и изменение аргумента вектора C j при возрастании от 0 до
arg C j n .
2
0
будет
Изменение аргумента вектора D j при возрастании от 0 до в
общем случае равно (см. (7.24))
arg D j n 2m , где m-число
2
0
корней характеристического уравнения D =0, лежащих в правой части
КП.
Частотную характеристику W1 j (7.26) запишем в показательной
форме:
W1 j A1 e j1
где
A1 W1 j
D j e
C j e
D j
C j
j D
j C
W1 j e j D C , (7.27)
амплитудная
частотная
характеристика
функции W1 j ;
1 argW1 j D c arg D j arg C j . .
Изменение аргумента вектора W1 j при возрастании частоты от
0 до равно разности изменений аргументов D j и C j :
argW1 j arg D j arg C j n 2m n m .
2
2
0
0
0
Замкнутая система будет устойчивой, если m=0, т.е. если
arg W1 j argW1 j argW1 j 0 0.
0
87
(7.28)
Для построения АФХ W1 j определим начальное (W1 j 0 ) и
конечное (W1 j ) положения вектора W1 j на КП. С этой целью
вычислим модуль вектора A1 и аргумент 1 на границах частотного
интервала 0; .
Из выражения (7.27) получим граничные значения A1 :
1) 0.
A10
an cn bm
b
1 m 1 K,
cn
cn
cn
где К- коэффициент усиления разомкнутой системы;
2) . В этом случае D j a j n , C j c j n .
0
0
a0 j n
n
a 0 j
a
c
lim A1 lim
lim
0 0 1.
c 0 j n c 0 c 0
c 0 j n
Значения аргументов векторов D j и C j при равны n
2
при любом расположении корней уравнений D =0 и C 0 на КП.
Для конечного значения аргумента вектора W1 j получим:
arg W1 j n
2
n
2
0.
Таким образом, направление вектора W1 j при совпадает с
положительным направлением вещественной оси комплексной плоскости,
а модуль вектора A1 1 (рис. 7.3 а).
Начальное значение аргумента вектора W1 j определим из выражения
(7.28):
argW1 j 0 argW1 j argW1 j argW1 j .
0
(7.29)
0
Для системы, устойчивой в замкнутом состоянии,
arg W1 j 0 0 .
Следовательно, направление вектора W1 j при 0 также совпадает с
88
положительным направлением вещественной оси КП, а модуль вектора
A1 0 1 K (рис. 7.3 а).
j
j
=
0
W1(j)
W1(j0)
W1(j)
1
=0
1+K
a)
=
0
1
=0
б)
1+K
Рис.7.3.Годографы
векторов
W1 j
(система
и
W j
j
устойчива)
а)
1()
W(j)
положения
вектора
W1 j при 0 и ;
б) годограф вектора W1 j ;
=
-1
K
0
=0
в)
в) годограф вектора W j .
W1(j)
Условие устойчивости замкнутой системы (7.28) будет выполнено
лишь в том случае, если при возрастании от 0 до годограф вектора
W1 j не охватит начало координат (рис. 7.3 б).
От годографа вектора W1 j можно перейти к АФХ разомкнутой
системы W j в соответствии с выражением (7.26):
W j W1 j 1
(7.30)
Единицу в формуле (7.30) можно рассматривать как вектор – орт оси
вещественных чисел. Если сместить кривую W1 j влево на единицу,
получим АФХ разомкнутой системы (рис. 7.3 в).
89
Амплитудно–фазовый
критерий
устойчивости
можно
сформулировать следующим образом:
Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно –
фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку с
координатами (-1; j 0).
Если замкнутая система неустойчива, то уравнение
D 0
содержит корни с положительными вещественными частями (m0).
Результирующий угол поворота вектора W1 j при возрастании частоты
от 0 до 1 1 0 m . Это означает, что для неустойчивой
замкнутой системы годограф вектора W1 j охватывает начало координат
на угол m по часовой стрелке.
Пример .Дана передаточная функция разомкнутой системы
W s
2 .
0,5s 1
Разомкнутая система устойчива, так как характеристическое
уравнение 0,5+1=0 имеет отрицательный вещественный корень 2 .
Построим вспомогательную функцию W1 s :
W1 s 1 W s
Ds 0,5s 1 .
C s 0,5s 1
Замкнутая система неустойчива, так как характеристическое
уравнение
0,5 1 0
имеет положительный вещественный корень
2, m 1.
Сделаем подстановку s j в выражение для W1 s :
j 0,5 1
W1 j
u j ,
j 0,5 1
где
u
0,25 2 1
0,25 1
2
;
.
0,25 2 1
90
Начальное положение вектора W1 j при 0 :
Конечное положение вектора W1 j при :
u 0 1; 0 0.
u 1; 0.
Так как 0 при любых значениях частоты 0; , годограф
вектора находится в верхней части КП (рис. 7.4). Нетрудно убедиться, что
при 0 1 , при 1 0. При возрастании от 0 до
вектор W1 j повернется на угол 1 1 0 , т.е. по часовой стрелке.
Перейдя
от
АФХ
W1 ( j )
к
W ( j )
АФХ
по
формуле
(7.30)
W ( j ) W1 ( j ) 1 , получим годограф вектора W ( j ) , охватывающий
точку с координатами (1; j 0) (рис. 7.4 б).
W1(j2)
j
j
=2
а)
W1(j0)
б)
W1(j)
=
=0
0
-1
W(j)
(-1; j0)
=0
=
0
-2
1
Рис.7.4.Годографы вектора W1(j) (рис.7.4 а) и вектора W(j)
(рис.7.4 б) для неустойчивой системы при m=1
Снимем
теперь
ограничения
на
корни
характеристического
полинома разомкнутой системы C (s ). Будем полагать, что в нем кроме
корней с отрицательными вещественными частями есть нулевые корни.
При наличии одного нулевого корня знаменатель функции W (s)
будет иметь выражение
C ( s) s(c0 s n 1 c1s n 2 ... cn 2 s cn 1) sC ( s).
Запишем частотную функцию разомкнутой системы
W ( j )
B ( j )
j C ( j )
A( )e j ( ) ,
91
(7.31)
где
A( ) W ( j )
1
B ( j )
1
A ( );
j C ( j )
B ( j )
1
( ).
arg
C ( j )
2
j
( ) arg
При 0
A ( ) K
bm
, ( ) 0,
cn1
1
A( ) K , ( ) 0 .
0
2
2
а) 1=0
V
-1
=
б) 1= -
V
-1
=
U
0
0
0
=0
R
U
0
Рис.7.5
В результате на частоте = 0 АФХ разомкнутой системы будет иметь
разрыв непрерывности (рис. 7.5а). Для получения определенности в ходе
АФХ заменим нулевой корень 1 0 бесконечно малым вещественным
отрицательным корнем
1 . Тогда полином C (s). примет вид
C ( s) ( s )C ( s), а в знаменателе частотной функции W ( j ) вместо
j получим сомножитель j , модуль которого A1 ( ) 2 2 при
=0 есть бесконечно малая величина, а фаза 1 ( ) arc tg изменяется
от нуля при =0 до /2 при 0. При этом модуль функции (7.31) А(0)
92
будет стремиться к бесконечности, а фаза будет изменяться от нуля до
-/2.
Таким образом, АФХ разомкнутой системы дополнится по часовой
стрелке четвертью окружности с радиусом R , начало которой
находится на вещественной оси, и разрыв непрерывности будет устранен
(рис. 7.5 б). Кроме того, так как нулевой корень заменен вещественным
отрицательным
корнем,
то
разомкнутую
систему
можно
считать
устойчивой. Все это означает, что для исследования устойчивости
замкнутой системы можно применять приведенную ранее формулировку
критерия Найквиста.
7.6. Пример определения устойчивости системы по критерию Найквиста
Определим устойчивость следящей системы, рассмотренной в
разделе 6 (рис.6.1). Структурная схема следящей системы при условии
Мс=0 приведена на рис.7.6.
Передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению
передаточных функций отдельных звеньев:
W ( p ) W1 ( p ) W2 ( p ) W3.1 ( p )W3.3 p W4 ( p )
K
,
p (T y p 1) (T м p 1)
где K k1 k 2 k 3 k 4 - общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.
1
k1
U1
k2
U2
Tу p 1
k3
д
pTм p 1
k4
2
2
Рис.7.6.Структурная схема дистанционной следящей системы
Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы
A( ) W ( j )
и фаза
K
(1 Tу2 2 ) (1 Tм2 2 )
93
1
1
1
arg
arg
1 jT
1 jT у
j
м
( ) arg
2
arc tg (T y ) arc tg (T м )
2
arc tg
(T y T м )
1 2T y T м
.
При 0 модуль A(0) , а фаза (0) . По мере увеличения
2
фаза изменяется от
2
3
2
до при . Это означает, что АФХ
разомкнутой системы располагается в третьем и втором квадрантах КП.
Модуль с увеличением уменьшается и при становится равным
нулю. Таким образом, с учетом дополнения четвертью окружности
радиусом R АФХ выглядит так, как показано на рис. 7.5б.
Частоту , на которой фаза () , найдем из условия
arc tg
(Ty TM )
1 2TyTM
2
, откуда 1 / T T . Подставив это значение в
y м
выражение для модуля, получим: A() K TyTм . Замкнутая система
T y Tм
устойчива, если
A() 1.
замкнутой системы
Таким образом, условие устойчивости
K
1
1
.
T y Tм
7.7. Определение устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам
Если
устойчива
разомкнутая
система,
то
для
устойчивости
соответствующей замкнутой системы нужно, чтобы АФХ разомкнутой
системы либо не пересекала действительную ось слева от точки (1; j 0)
(рис. 7.7 а), либо пересекала ее четное число раз, не охватывая указанную
точку (рис. 7.8 а).
При
использовании
логарифмических
частотных
характеристик
разомкнутой системы следует учитывать, что точке АФХ с координатами
94
(1; j 0) соответствуют критические значения Lkp 20 lg 1 0 и kp . В
случае, когда разомкнутая одноконтурная система устойчива, замкнутая
система также будет устойчива, если ЛАХ
разомкнутой
системы
пересекает ось абсцисс при меньшей частоте, чем ЛФХ пересекает линию
на уровне -. При этом ЛФХ может либо не иметь других точек
пересечения уровня - левее частоты среза (рис. 7.7 б), либо иметь их
четное количество (рис. 7.8 б).
7.8. Запас устойчивости
Запас устойчивости предусматривает некоторое удаление расчетных
параметров системы от значений, соответствующих границе устойчивости.
При использовании критерия Найквиста устойчивость определяется
по расположению АФХ относительно критической точки с координатами
(1; j 0) . Очевидно, что запас устойчивости будет тем больше, чем дальше
расположена АФХ от этой точки.
Определяя запас устойчивости, обычно вводят понятие о запасе
устойчивости по фазе и запасе устойчивости по модулю (амплитуде)
вектора W ( j ). Оба эти запаса рассматриваются одновременно
Запас устойчивости по фазе з определяется как разность между
фазой (cp ) вектора W ( jcp ) и углом - (рис. 7.7 а):
з ( cp ) ( ) ( cp ).
Запас устойчивости замкнутой системы по фазе тем больше, чем больше з.
В хорошо демпфированных системах он составляет 30… 60.
Запас устойчивости по амплитуде hз определяется величиной отрезка
оси абсцисс, заключенного между критической точкой (1; j 0) и АФХ.
Для случая, изображенного на рис. 7.8а, удаления АФХ от
критической точки определяются величинами h1 и h2. Запас устойчивости
95
замкнутой
системы
по
амплитуде
равен
минимальной
из
них: hз minh1 , h2 .
При
использовании
логарифмических
характеристик
запас
устойчивости по фазе з находится по кривой ЛФХ при cp , а запас по
амплитуде – по кривой ЛАХ при () (рис. 7.8 б). Для случая,
изображенного на рис. 7.8, удаление ЛАХ от критической точки Lkp 0
при () определяется величинами L1 20 lg
1
и L2 20 lg U 2 . Запас
U1
устойчивости замкнутой системы по амплитуде Lз , выраженный в
децибелах, определяется наименьшим значением:
Lз minL1, L2 .
Система считается хорошо демпфированной, если Lз составляет
примерно 6….20 дБ.
96
V
hз
А()
-1
=
k
=
з
U
=0
ср<
=ср
а)
L, дБ
, градус
Lз= -20lgA()=
=20lg(1/ A())
L()
Точки излома асимптот
()
з
ср
б)
Рис.7.7
а) АФХ разомкнутой системы с одним пересечением
оси U;
б) ЛЧХ этой же системы.
97
U2= А(2)
V
U1= А(3)
=
-1 a
c
U
b
з
=3
=2
=ср
1<2<ср<3
h2
h1
А(1)101
а)
L, дБ
, градус
L1= -20lgU1=
=20lg(1/U1)
20lgA(1)
L2=20lgU2
L()
()
b
с
a
з
2
б)
ср 3
1
Рис.7.8.
а)Фрагмент АФХ разомкнутой системы с двумя пересечениями
оси U левее точки (-1;j0);
б) ЛЧХ этой же системы.
98
Тема 8. Оценка качества управления и синтез непрерывных САУ
8.1. Критерии качества управления
Качество
процесса
управления
определяется
поведением
автоматической системы при переходе с одного режима работы на другой.
При этом предполагается, что система устойчива. Различают следующие
основные показатели качества процесса управления: колебательность
переходного процесса, максимальное отклонение (перерегулирование)
управляемой переменной от заданного значения, точность, время
переходного процесса.
Для определения качественных показателей системы используются
так называемые критерии качества, которые можно разбить на четыре
группы:
1. Критерии точности систем управления, использующие для оценки
качества величину ошибки в различных типовых режимах.
2. Критерии, определяющие величину запаса устойчивости.
3. Критерии, определяющие быстродействие систем управления. Под
быстродействием
понимается
быстрота
реагирования
системы
на
появление задающих и возмущающих воздействий. Наиболее просто
быстродействие может оцениваться по времени затухания переходного
процесса системы.
4. Комплексные критерии качества, дающие оценку некоторых
обобщенных
свойств,
которые
могут
учитывать
точность,
запас
устойчивости и быстродействие. Обычно это делается при помощи
рассмотрения некоторых интегральных свойств кривой переходного
процесса.
8.2. Теорема о конечном значении
Пусть требуется определить установившееся значение некоторой
величины x(t ) при t . Первая производная переменной x(t) по времени
есть скорость ее изменения x (t ) :
99
dx(t )
x (t ).
dt
(8.1)
Умножим равенство (8.1) на dt и проинтегрируем на интервале
времени t 0; :
dx(t ) x (t ) dt
Интеграл
x ()
x ( 0)
0
0
dx(t ) x (t ) dt x() x(0) x (t ) dt.
x (t ) dt
(8.2)
можно рассматривать как предел интеграла
0
Лапласа при условии s 0 :
0
0
(8.3)
st
x (t ) dt lim x (t ) e dt lim(sX ( s) x(0)) lim(sX ( s)) x(0) .
s 0
s 0
s 0
Подставим (8.3) в (8.2) и выразим из полученного уравнения
искомую величину x уст. x() :
(8.4)
x() lim sX ( s) .
s 0
8.3. Точность в типовых режимах
Для оценки точности системы управления используется величина
ошибки в различных типовых режимах
Величину ошибки можно определить выражением, полученным в
разделе 5.3:
X s
W f (s)
1
G (s)
F ( s ).
1 W (s)
1 W (s)
Чтобы найти установившееся значение ошибки
(8.5)
x уст x() ,
воспользуемся теоремой о конечном значении:
x уст x() lim s
W f (s)
1
. (8.6)
G ( s) lim s
F ( s ) xуст xуст
1 W (s)
1 W ( s)
s 0
s 0
100
Первое
слагаемое
xуст
представляет
собой
составляющую
установившейся ошибки от задающего воздействия, а второе xуст
- от
возмущающего воздействия.
Входящая в выражение (8.6) передаточная функция разомкнутой
системы W(s) может быть представлена в виде
W (s)
K
s
r
W ' ( s ),
где K – коэффициент передачи (усиления) разомкнутой системы;
W ' (s) -составляющая
передаточной функции
W (s) , не содержащая
интегрирующих или идеальных дифференцирующих звеньев и равная 1
при s=0; r - число интегрирующих звеньев, входящих последовательно в
разомкнутую цепь системы. При r=0 система называется статической, а
при r 1 -
астатической. Величина r определяет порядок астатизма
системы.
Рассмотрим наиболее употребительные режимы.
1.Неподвижное
состояние.
В
качестве
типового
режима
рассматривается установившееся состояние при постоянных значениях
задающего и возмущающего воздействий. Примем, что задающее и
возмущающее воздействия в момент времени t=0 изменяются от нуля до
постоянных значений g 0 const , f 0 const : g (t ) g 01(t ); f (t ) f 01(t ).
В этом случае изображения внешних воздействий по Лапласу
определяются формулами:
G (s)
g0
f
; F ( s) 0 .
s
s
(8.7)
Докажем справедливость формул (8.7) на примере преобразования
по Лапласу задающего воздействия g t g 01t , где 1t 0 при t 0 и
1t 1 при t 0 .
101
1
1
G s Lg t g 0 1t e dt g 0 1t e st d st g 0 e st tt 0
s0
s
0
g0
st
g
1
1
lim e st e s 0 g 0 0 1 0 .
s t
s
s
(8.8)
Заметим, что первое слагаемое в скобках (8.8) обращается в ноль при
t в случае, если вещественная часть комплексной переменной
s i , называемая абсциссой абсолютной сходимости, положительна
(см. раздел 2.2.2).
Подставляя (8.7) в формулу (8.6), определим величину ошибки,
которая в этом случае называется статической:
W f s
1
xст
. .
g 0 lim
f 0 xст
s 0 1 W s
s 0 1 W s
xст x lim
В статических системах W 0 K . Тогда статическая ошибка от
задающего воздействия
xст
g0
g0
.
1 W 0 1 K
0.
В астатических системах W 0 , поэтому составляющая xст
в астатических
Однако это ещё не означает, что вторая составляющая xст
системах также равна нулю, так как возможен случай, когда W f 0 .
2. Движение с постоянной скоростью. В качестве второго типового
режима используется режим движения с постоянной скоростью v const ,
который будет наблюдаться в установившемся состоянии при задающем
воздействии, изменяющемся по закону g t vt , и при постоянном
значении возмущающего воздействия f 0 const .
Найдем изображение задающего воздействия по Лапласу, применив
способ интегрирования по частям.
1 st 1 st
1
v
G s Lg t vte dt v t e
dt v 0 0 2 e st
0 e
0 2.
s
s
s
0
0s
Из общего выражения для ошибки (8.6) найдем установившуюся ошибку
st
102
W f s
v
lim
f0.
s 0 s 1 W s
s 0 1 W s
x ycт lim
(8.9)
Первое слагаемое (8.9) имеет смысл только при астатизме первого
порядка, т.е. в том случае, когда передаточная функция разомкнутой
системы может быть представлена в виде
W s
K
W s , где K s
коэффициент передачи разомкнутой системы, называемый в данном
случае добротностью по скорости. Тогда выражение (8.9) приводится к
виду x уст v xст xc xст .
K
Таким образом, в этом типовом режиме установившаяся ошибка
xст lim
будет слагаться из статической ошибки
s 0
W f s
1 W s
f0
и добавочной скоростной ошибки хс, равной отношению заданной
скорости к добротности системы по скорости
хс=v/K.
В статических системах первое слагаемое (8.9) стремится к бесконечности,
при астатизме выше первого порядка это слагаемое стремится к нулю. На
рис. 8.1 показаны примеры переходных процессов g t , yt , xt для
статической системы (рис. 8.1 а) и системы с астатизмом первого порядка
(рис. 8.1 б) .
3. Движение по гармоническому (синусоидальному) закону.
Задающее воздействие принимается изменяющимся по закону
g t g max sin k t .
В
линеаризованной
системе
при
гармоническом
задающем
воздействии ошибка в установившемся режиме будет также меняться по
гармоническому закону с частотой k :
xt xmax sin k t .
Точность системы в этом режиме может быть оценена по амплитуде
ошибки
103
x max Ax k g max ,
где
Ax k -
Ax
1
при k .
1 W j
а)
значение
(8.10)
амплитудно–частотной
б)
g(t)
y(t)
характеристики
g(t)
y(t)
x(t)
x(t)
Рис. 8.1. Примеры графиков переходных процессов при
движении с постоянной скоростью:
а) статическая система; б) система с астатизмом первого
порядка.
Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше
амплитуды входного воздействия xmax g max , то, следовательно,
Ax k 1 1 W jk 1 W jk 1.
Это позволяет с большой точностью выражение (8.10) заменить
приближенным
x max
g
1
g max max ,
W j k
A k
(8.11)
где Ak - значение АФЧХ разомкнутой системы при k .
Формула (8.11) широко используется при расчете системы методом
ЛАХ. Простота выражения (8.11) позволяет легко сформулировать
требования к ЛАХ, которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда
ошибки в установившемся режиме при k была не больше заданного
104
значения xmax . Требуемое значение модуля частотной передаточной
функции разомкнутой системы в децибелах L k 20 lg A k 20 lg
g max
.
xmax
L
Аk
20lg(gmax/xmax)
ср
k
Рис.8.2
Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке при
частоте управляющего воздействия k . Полученная точка Ak (рис. 8.2)
обычно называется контрольной точкой, ниже которой ЛАХ не должна
проходить.
8.4. Определение запаса устойчивости и быстродействия по переходной
характеристике
В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно
единичный скачок задающего воздействия g (t ) 1(t ). В этом случае кривая
переходного процесса для управляемой величины будет представлять
собой переходную характеристику системы (рис. 8.3).
Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас
устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением
управляемой величины ymax или так называемым перерегулированием
%
ymax y ()
100 %,
y ( )
105
где y() 0 представляет собой установившееся значение управляемой
величины после завершения переходного процесса.
y()
y
y()
ymax
2y()
tM
tП
t
Рис.8.3
В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является
достаточным, если величина перерегулирования не превышает (10…30)%.
Однако в некоторых случаях требуется, чтобы переходный процесс
протекал вообще без перерегулирования, т.е. был монотонным.
Быстродействие системы может определяться по длительности
переходного
процесса
tП.
Длительность
переходного
процесса
определяется как время, протекающее от момента приложения на вход
единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство
y (t ) y () y() 1 ,
где
1 -
заданная
малая
постоянная
величина,
представляющая
допустимую ошибку. Как правило, величина 0,01...0,05 .
8.5. Оценка качества переходного процесса по логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутой системы
Рассмотрим связь между переходными характеристиками и ЛАХ для
систем первого и второго порядка.
106
Пример 1. Система состоит из интегрирующего звена, охваченного
жесткой отрицательной обратной связью (рис. 8.4 а)
а)
g
L
x
k
p
б)
y
-20дБ/дек
ср=k
20lgk
c-1
0,1
1
10
Рис.8.4
Элементарная замкнутая система в этом случае представляет собой
инерционное (апериодическое) звено:
ф( p )
W ( p)
k/ p
k
1
,
1 W ( p ) 1 k / p p k Tp 1
где T
1
- постоянная времени.
k
(8.12)
Разомкнем обратную связь и построим ЛАХ разомкнутой системы:
L( ) 20 lg
k
k
20 lg 20 lg k 20 lg .
j
При 1 значение L(1) 20 lg k , а при k получаем L(k ) 0
(рис. 8.4 б). Частота k есть частота среза ср .
Дифференциальное уравнение замкнутой системы получим на
основании ее передаточной функции (8.12):
y
1
dy
(Tp 1) y g T
y g.
g Tp 1
dt
Реакция замкнутой системы на входное воздействие g(t)=1(t) при
нулевых начальных условиях (y(0)=0) есть переходная характеристика
t
системы (см. (4.36) при k=1), приведенная на рис. 4.7: y (t ) h(t ) 1 e T .
107
Время переходного процесса для экспоненциальной кривой обычно
принимается равным 3Т (время входа переходной характеристики в
пятипроцентную трубку), поэтому
1
3
t П 3T 3
.
k ср
(8.13)
На основании (8.13) заключаем, что время переходного процесса
замкнутой системы первого порядка определяется частотой среза ср
разомкнутой системы.
Пример
2.
Для
системы
второго
порядка,
содержащей
интегрирующее и инерционное звенья (рис. 8.5 а), передаточная функция
разомкнутой системы W ( p )
K
.
p (T1 p 1)
б)
а)
g
K
p
x
1
T1 p 1
20lgk
y
1
1=1/T1
c-1
2
0,1
1
10
3
Рис.8.5
ЛАХ
разомкнутой
системы
содержит
три
составляющие:
безынерционного 1, интегрирующего 2 и инерционного 3 звеньев
(рис. 8.5 б):
L( ) 20 lg W ( j ) 20 lg k 20 lg 20 lg (1 2T12 )1 / 2 .
При различном соотношении параметров звеньев результирующая ЛАХ
разомкнутой системы будет иметь различный вид (рис. 8.6 а; 8.6 б; 8.6 в).
На рис. 8.6 а показан вариант, когда частота сопряжения 1
1
K.
T1
В этом случае ЛАХ пересекает ось частот в точке ср с наклоном –40
108
дБ/дек и система имеет небольшой запас устойчивости по фазе з1 . С
уменьшением постоянной времени T1 частота 1 возрастает, и точка
излома асимптотической ЛАХ сдвигается вправо. На рис. 8.6 б частота
1 ср . При этом заметно вырос запас устойчивости системы по фазе
з 2 з1 , а в случае 1 ср (рис. 8.6 в) имеем запас устойчивости по
фазе з3 з 2 з1. Запишем передаточную функцию замкнутой системы:
Ф( р )
W ( р)
K
1
,
2
1 W ( р ) p(1 T1 p ) K TT1 p Tp 1
(8.14)
где T 1/ K - постоянная времени.
Выразим
передаточную
функцию
(8.14)
через
коэффициент
демпфирования и через собственную частоту колебаний 0:
02
Ф( р ) 2
,
р 20 р 02
где 0
1
T T1
K
1 ср ;
T1
1 / T1 1 T
0,5
.
20 2 T1
T1K
Чем меньше T1 (больше1), тем больше значение коэффициента
демпфирования (больше запас устойчивости системы по фазе з ). Для
различных соотношений частот 1 и ср соответственно виду ЛАХ (см.
рис. 8.6 а, б, в) переходные характеристики замкнутой системы при
g (t ) 1(t ) приведены на рис. 8.6 г. В случае T1 0 (1 ) вместо (8.14)
получим выражение, аналогичное (8.12), когда переходный процесс в
системе является апериодическим (кривая 3 на рис. 8.6 г).
Практически установлено, что при 1 2ср переходный процесс
замкнутой системы второго порядка будет без перерегулирования, а его
время может приближенно определяться равенством (8.13).
В результате исследования автоматических систем с различным
видом ЛАХ установлено, что колебательность переходного процесса будет
109
L, дБ
40
1
20
20lgK
, c-1
0
0,1
100
=K
1
10
-/2
-40 дБ/дек
з1
в)
-20 дБ/дек
10
ср=K
100
-40 дБ/дек
з2
1,5
1
10
-40 дБ/дек
1
г)
1(1<ср)
1
1
, c-1
-/2
ср=1 =K
-
L, дБ
20
20lgK
0
0,1
-20 дБ/дек
40
-/2
-
б)
-20 дБ/дек
ср
20
20lgK
0
0,1
40
L, дБ
а)
100
2(1=ср)
0,5
3(1=)
t, c
0
з3
0
0,5
1
1,5
-
Рис.8.6
наименьшей, если частота среза ср разомкнутой системы находится на
участке ЛАХ с наклоном –20 дБ/дек. Для систем высокого порядка при
этом время переходного процесса определяется неравенством t П / ср .
Если переходный процесс в системе заканчивается за 1-2 колебания,
то время переходного процесса можно определить по приближенной
зависимости
t П (1...2)
2
ср
.
(8.15)
Чем шире участок ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек, пересекающий ось
абсцисс, тем ближе переходная характеристика к экспоненте.
В общем случае ЛАХ разомкнутой системы имеет произвольный
вид. Однако, как показали исследования, вид участка ЛАХ при низких
110
частотах мало влияет на характер переходного процесса. Низкочастотный
участок ЛАХ характеризует ошибку автоматических систем (см. рис. 8.2).
Следовательно, при оценке переходного процесса по ЛАХ разомкнутой
системы низкочастотный участок можно не учитывать. Аналогичный
вывод можно получить относительно участка ЛАХ, соответствующего
высоким частотам.
8.6. Синтез систем автоматического управления
8.6.1. Общие понятия
Под синтезом системы автоматического управления понимается
направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной
структуры системы и установление оптимальных величин параметров ее
отдельных звеньев.
Будет рассматривать синтез как инженерную задачу, сводящуюся к
такому построению системы, при котором обеспечивается выполнение
технических требований к ней. Предъявляются как общеинженерные
требования в отношении габаритов, веса, стоимости, надежности и т.д., так
и требования к статическим и динамическим свойствам системы, к
качеству регулирования.
При инженерном синтезе системы автоматического управления
необходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых,
приемлемый характер переходных процессов.
Теорией автоматического регулирования и управления предложен
ряд методов синтеза линейных автоматических систем. Рассмотрим
упрощенную версию одного из методов, который нашел наибольшее
применение в инженерной практике. Речь идет о методе логарифмических
амплитудных характеристик.
111
8.6.2. Этапы синтеза методом ЛАХ
Наиболее
приемлемы
для
целей
синтеза
логарифмические
амплитудные характеристики, т.к. построение ЛАХ, как правило, может
делаться
почти
без
вычислительной
работы.
Особенно
удобно
использовать асимптотические ЛАХ.
Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции.
1.Построение
располагаемой
ЛАХ.
Под
располагаемой
ЛАХ
понимается характеристика исходной системы управления, построенной
исходя из требований, предъявляемых к точности режимов стабилизации
или слежения, к мощности на выходе системы и т.п. Обычно под исходной
системой понимается система, состоящая из управляемого объекта и
управляющего
устройства
и
не
снабженная
необходимыми
корректирующими устройствами, обеспечивающими требуемое качество
переходного процесса. Исходная система должна быть минимальнофазовой. Это значит, что передаточная функция разомкнутой исходной
системы не должна иметь нулей и полюсов, расположенных в правой
полуплоскости. Нулями называют корни полинома, стоящего в числителе
передаточной функции, а полюсами – корни характеристического
полинома.
2.Построение желаемой ЛАХ. Желаемой называют асимптотическую
ЛАХ разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические
и динамические свойства. Желаемая ЛАХ состоит из трех основных
асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Кроме
того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.
При построении желаемой ЛАХ необходимо быть уверенным, что вид
амплитудной характеристики полностью определяет характер переходных
процессов и нет необходимости вводить в рассмотрение фазовую
характеристику. Это будет выполняться в случае минимально-фазовых
систем.
112
3. Определение вида и параметров корректирующего устройства.
Наиболее действенным способом придания системе автоматического
управления необходимых динамических свойств является введение в нее
дополнительного
исходной
элемента.
системы
и
Он
исправляет,
называется
корректирует
корректирующим
свойства
устройством.
Корректирующее устройство включают в систему автоматического
управления различным образом. Рассмотрим лишь один способ включения
– последовательное включение корректирующего устройства в прямую
цепь системы. В этом случае наиболее просто определяется передаточная
функция корректирующего устройства, которую обозначим Wk .
Последовательное
непосредственно
после
корректирующее
датчика
устройство
рассогласования
включают
или
же
после
предварительного усилителя. Второй вариант включения используют
чаще, так как корректирующее устройство чаще всего снижает уровень
сигнала рассогласования, который обычно весьма мал.
На
рис.
8.7
показана
схема
возможного
включения
последовательного корректирующего устройства в следящую систему,
рассмотренную в разделе 7.6, по второму варианту (сравните со схемой на
рис. 7.6).
Усилитель на рис. 8.7 разделен на два каскада – предварительный
усилитель с передаточной функцией W2' K 2' и усилитель мощности с
передаточной
функцией
K 2''
W
.
Ty p 1
''
2
Произведение
функций W2' , W2'' дает передаточную функцию W2
передаточных
K2
, т.е. K 2 K 2' K 2'' .
Ty p 1
Если желаемая передаточная функция разомкнутой системы
Wж ( p) , располагаемая - Wp ( p) и передаточная функция корректирующего
113
устройства последовательного типа WK ( p) , то можно записать равенство
Wж ( p) = Wp ( p) WK ( p) , откуда
WK ( p) =
Wж ( p)
.
Wp ( p)
Для ЛАХ можно записать:
20 lg Wk ( j ) 20 lg
1
W1
Wж ( j )
Wp ( j )
u1
W2
,
или
Wk
LK ( ) Lж ( ) Lp ( ).
W2
u2
д
W3
W4
2
2
Рис. 8.7. Структурная схема дистанционной следящей системы
с последовательным корректирующим устройством
Таким
образом,
при
использовании
ЛАХ
весьма
легко
осуществляется синтез последовательных корректирующих устройств, так
как ЛАХ корректирующего устройства получается простым вычитанием
ординат располагаемой ЛАХ из ординат желаемой.
4. Техническая реализация корректирующих устройств. По виду
ЛАХ необходимо подобрать схему и параметры корректирующего
устройства последовательного типа.
Применение последовательных корректирующих устройств наиболее
удобно в системах, у которых сигнал управления представляет собой
напряжение постоянного тока. В этих случаях корректирующее устройство
выполняют обычно из пассивных электрических четырехполюсников,
обеспечивающих разнообразное преобразование сигнала. Еще больше
возможности дают активные (т.е. с дополнительными источниками
питания) электрические четырехполюсники постоянного тока. Схема
простейшего пассивного электрического четырехполюсника приведена,
например, на рис. 3.9.
114
5. Поверочный расчет и построение переходного процесса. Нельзя
ожидать высокой точности результатов, полученных расчетным путем. Это
объясняется
прежде
всего
приближенностью
используемого
математического описания управляемого объекта и исполнительного
элемента. Кроме того, содержат приближения и методы синтеза. Поэтому
заключительным этапом расчета должен быть анализ синтезированной
системы – определение показателей ее качества. А при физическом
осуществлении системы нужна еще ее настройка.
Указанные обстоятельства не уменьшают значения теоретических
расчетов. На основании расчетов выбирается структура корректирующего
устройства и ориентировочные значения его параметров. Их отыскание
экспериментальным
путем
значительно
сложнее.
Вместе
с
тем
моделирование позволяет уточнить выбранные значения параметров.
8.6.3. Пример синтеза САУ с последовательным корректирующим
устройством
Рассмотрим упрощённую методику синтеза САУ методом ЛАХ на
примере следящей системы, структурная схема которой приведена на
рис.7.6. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
W ( p)
K
,
p(T y p 1) (Tм p 1)
(8.16)
где К – коэффициент усиления разомкнутой системы (добротность САУ по
скорости).
Пусть: 1) постоянные времени имеют значения: Ту=(1/300) с; Тм=0,05 с;
2) по техническому заданию требуется обеспечить точность слежения за
командным сигналом 1, изменяющимся с постоянной скоростью
1=200 о/с,
с
допустимой
скоростной
ошибкой
сm=1-2 0,5о.
Соотношение между скоростной ошибкой с, постоянной скоростью
115
изменения командного сигнала 1 и добротностью системы по скорости К
для систем с астатизмом первого порядка было найдено в разделе 8.3:
c
1
K
cm .
(8.17)
По формуле (8.17) определим нижнюю границу коэффициента К:
K min
Нетрудно
проверить,
найденное
в
разделе
1
400 c 1 .
m
c
используя
7.6,
(8.18)
условие
что
устойчивости
замкнутая
система
K
1
1
,
T y Tм
неустойчива.
Располагаемая асимптотическая ЛАЧХ разомкнутой системы приведена на
рис. 8.8.
-20 дБ/дек.
20lgК52 дБ
1
10
Низкочастотная ветвь ЛАЧХ
Lр ср
1/Тм=20 с-1
1/Ту=300 с-1
, с-1
1000
=К=400 c-1
100
-40 дБ/дек.
-60 дБ/дек.
lgω
Рис.8.8. Располагаемая ЛАЧХ разомкнутой системы
Располагаемая ЛАЧХ пересекает среднечастотную область с наклоном в
- 40 дб/дек, то есть даже если бы система была устойчива, переходный
процесс имел бы колебательный характер.
Порядок построения желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего
устройства (рис.8.9):
116
1. Проводим горизонтали на уровне 10 дБ и -10 дБ, задавая
допустимые запасы устойчивости системы по амплитуде.
2. Ищем точку пересечения горизонтали -10 дБ с высокочастотной
ветвью располагаемой ЛАЧХ (точка a).
3. Из точки a проводим среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ с
наклоном -20 дБ/дек. до пересечения с горизонталью 10 дБ.
4. Сопрягаем среднечастотную ветвь ЛАЧХ с низкочастотной
асимптотой с наклоном -40 дБ/дек. (точка с).
5. Строим асимптотическую ЛАЧХ корректирующего устройства по
формуле Lку Lж L р .
6. Определяем частоты сопряжения асимптот ЛАЧХ
корректирующего устройства 1/Т1, 1/ Т 2, 1/ Т3, 1/ Т4 -и вычисляем
постоянные времени Т1, Т2, Т3, Т4.
60
c
40
Lр
Lж
20
b
10дБ
1
0
1000 , с-1
-10дБ
100
10
a
1/Т1
-20
Lку
1/Т2
-40
1/Т3=1/Тм
-60
0
0.5
1
1/Т4 1/Ту
ωср50,3 с-1
1.5
2
2.5
3
lgω
Рис.8.9. Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего
устройства
Таким образом, получили передаточную функцию корректирующего
устройства W ky p
T2 p 1T3 p 1
с параметрами Т1=0,5 с; Т2=0,063 с;
T1 p 1T4 p 1
Т3=0,05 с; Т4=0,0063 с.
117
На рис.8.10 показана переходная характеристика скорректированной
САУ. Переходной процесс 2(t) до момента t=tп входа графика в
пятипроцентную трубку заканчивается примерно за одно колебание. Время
окончания переходного процесса tп0,12 с. Такой же результат получим,
вычислив время tп по формуле (8.15): t п
2
ср
2
0,12 c .
50,3
2
1.4
0,05
1.2
1
0.8
0.6
0.4
tп0,12 с
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Рис.8.10. Переходная характеристика скорректированной
САУ
8.6.4. Пример реализации корректирующего устройства
Допустим,
что
передаточная
функция
последовательного
корректирующего устройства получена в виде:
Wку p
Tk 3 p 12 Tk 2 p 1Tk 5 p 1 0,8725 p 12 0,693 p 10,0078 p 1 .
Tk1 p 12 Tk 4 p 1Tk 6 p 1 4,0993 p 12 0,08725 p 10,0028 p 1
(8.19)
Построим структурную схему корректирующего устройства в
соответствии с (8.19) (рис.8.11). При этом электрическую схему
корректирующего устройства будем строить в той же последовательности,
в которой расположены звенья на структурной схеме.
118
Uвх
0,8725 p 1
4,0993 p 1
0,8725 p 1
4,0993 p 1
0,693 p 1
0,08725 p 1
0,0078 p 1
0,0028 p 1
Uку
Рис.8.11. Структурная схема корректирующего устройства
Uвх – сигнал на входе корректирующего устройства;
Uку – сигнал на выходе корректирующего устройства.
Как видно из рис.8.11, у первых двух блоков корректирующего
устройства постоянная времени дифференцирующего звена меньше
постоянной времени апериодического звена, а у последующих – наоборот,
постоянные времени дифференцирующих звеньев больше постоянных
времени апериодических звеньев. Поэтому для первых двух блоков
выбираем схему пассивной интегрирующей R-C цепочки (рис.8.12).
На рис.8.12 показана схема сопряжения R-C цепочки с усилителями
напряжения предыдущего и последующего каскадов. Выход предыдущего
каскада (источника) характеризуется внутренним сопротивлением Rвн, а
вход последующего каскада – входным сопротивлением R0. С учётом этих
сопротивлений передаточная функция R-C цепочки (входной сигнал –
э.д.с. E, выходной сигнал – напряжение U2) имеет вид [5]:
W1 p
где
U 2 p
T p 1
k1 k 3
,
E p
Tk1 p 1
(8.20)
R R Rвн
R0
Tk 3 R2C1; Tk1 R2 0 1
; Tk1 Tk 3 . (8.21)
C1; k1
R1 Rвн R0
R1 Rвн R0
119
R1
Rв
R2
R0
U1
н
U2
C1
E
Рис.8.12. Электрическая схема интегрирующей R-C цепочки с
передаточной функцией
W1 p
U 2 p
T p 1
R R Rвн
R0
k1 k 3
, Tk 3 R2C1; Tk1 R2 0 1
;
C1; k1
E p
Tk1 p 1
R1 Rвн R0
R1 Rвн R0
Tk1>Tk3.
Рассчитаем параметры R-C цепочки, предполагая, что
Rвн=0, а
R0. Это можно сделать, если минимальное входное сопротивление R-C
цепочки Rвхmin Rвн , а максимальное выходное сопротивление R-C цепочки
max
Rвых
R0
max
( Rвхmin 10Rвн , Rвых
0,1R0 ).
В
этом
случае
формулы
(8.21)
упростятся:
Tk 3 R2C1; Tk1 R2 R1 C1; k1 1; Tk1 Tk 3.
При
использовании
сопротивление
будет
конденсаторы
можно
в
контуров
на
(8.22)
R-C
установившемся
считать
цепях
состоянии,
отключенными.
максимальное
когда
все
Минимальное
сопротивление будет при быстрых изменениях входного сигнала,
например, при гармоническом изменении с большой частотой, когда
конденсаторы можно считать закороченными. Для схемы на рис.8.12:
Rвхmin R1
R2 R0
max
R1 R2 ; Rвых
R1 Rвн R1 .
R2 R0
(8.23)
max
Для обеспечения выполнения условия Rвых
0,1R0 соединение выхода
R-C цепочки со входом усилителя последующего каскада выполним по
схеме, приведённой на рис. 8.13. В этом случае R0 R01 R02 (для
полупроводниковых усилителей R01 100 кОм [5]). Полагая, что выбором
120
max
0,1R0 , определим коэффициент
R02 можно обеспечить соотношение Rвых
усиления усилителя DA1 из условия равенства токов через сопротивления
R02 и Rос :
I ос
U3 U 2
U
U U2 U2
U
R R02
R
; I 2; 3
; K у 3 ос
1 ос .
Rос
R02
Rос
R02
U2
R02
R02
(8.24)
Выразим из (8.22) сопротивления R2 и R1:
R2
При
Tk 3
T T
; R1 k1 k 3 .
C1
C1
значениях
(8.25)
Tk1 4,099; Tk 3 0,873 получим:
R2
0,873
3,226
; R1
.
C1
C1
Зададимся величиной ёмкости С1=10-5 ф. Тогда R2=87,3 кОм, R1=322,6
кОм.
U1
Rв
R1
U2
R2
R0 DA1
н
E
U3
1
C1
I1 0
U2
Rос
Iос
R3= R02
I Iос
Рис.8.13. Электрическая схема сопряжения выхода
интегрирующей R-C цепочки с входом усилителя
последующего каскада.
Ближайшие подходящие значения постоянных резисторов R2=91 кОм,
R1=330 кОм (см.[5], таблица 13.1).
121
Так как коэффициент k1 передаточной функции W1(p) равен единице,
потребуем,
чтобы
коэффициент
Kу=1.
Тогда
получим
Rос=0.
max
Сопротивление R02 выберем из условия Rвых R1 0,1R01 R02 . Т.е.
R02 10 R1 R01 3300 100 3200 кОм . Выбираем ближайшее значение
R3=R02=3,3 мегом. Тогда действительные значения постоянных времени
интегрирующей R-C цепочки будут:
Tk 3 R2C1 91000 105 0,91 с; Tk1 R2 R1 C1 421000 10 5 4,21 с .
Второй каскад корректирующего устройства имеет такую же
передаточную функцию, что и первый, поэтому значения номиналов его
электрических элементов точно такие же (см.рис.8.14):
R4=R1=330 кОм; R5= R2=91 кОм;
R1
U1
U2
R6=R02=3,3 мегом; С2=С1=10-5ф.
U3= U2
R4
DA1
R2
C1
U4
R5
C2
R3=R02
U5= U4
DA2
R6=R02
Рис.8.14. Электрическая схема двух первых каскадов
корректирующего устройства.
Для 3 и 4 блоков выберем схему пассивного дифференцирующего
устройства
(схема
для
третьего
блока
приведена
на
рис.8.15).
Передаточная функция дифференцирующей R-C цепочки [5]:
W2 p kк 2
где
Tк2 R7C3 ; Tк4
Tк2 p 1
,
Tк4 p 1
R0 R8
R*
Rвн R*
*
T
;
R
;
k
.
к2
к2
Rвн R* R7
R0 R8
Rвн R* R7
min
max
Запишем формулы для Rвх и Rвых :
122
(8.26)
Rвхmin
R8 R0
R8 ;
R8 R0
max
Rвых
Rвн R7 R8 R7 R8 .
Rвн R7 R8
R7 R8
(8.27)
C3
R7
U6
Rвн
U5
R0
R8
E
Рис.8.15. Схема пассивного дифференцирующего контура с
T p 1
Rвн R*
; Tк2 R7C3 ; Tк4
Tк2 ;
Tк4 p 1
Rвн R* R7
передаточной функцией W2 p kк 2 к2
R*
R0 R8
R*
; kк 2
.
R0 R8
Rвн R* R7
Схему сопряжения выхода дифференцирующей R-C цепочки с
промежуточным усилителем выполним так же, как и раньше (рис.8.16).
Полагая Rвн=0, R0, получим:
R*
R0 R8
R*
R8
T
R8 ; kк 2
к4 ;
*
R0 R8
Rвн R R7 R8 R7 Tк2
Tк2 R7C3 ; Tк4
Rвн R*
R8
Tк2
Tк2 .
*
Rвн R R7
R8 R7
(8.28)
(8.29)
Из (8.29) определим R7 и R8:
R7
Tк2
Tк4Tк2
; R8
.
Tк2 Tк4 C3
C3
(8.30)
При значениях Tк4 0,0873 ; Tк2 0,693 получим:
R7
0,693
0,0605
0,1
; R8
; kк2 0,126 .
C3
0,6057 C3 C3
max
Найдём сопротивление Rвых
:
max
Rвых
R7 R8
0,0873
.
R7 R8
С3
123
(8.31)
С3
U5
U6
U7
R7
Rв
DA3
R8
R0
н
1
E
I1 0
U6
Rос
Iос
R9= R02
I Iос
Рис.8.16. Электрическая схема сопряжения выхода дифференцирующей R-C цепочки третьего каскада КУ с входом усилителя
последующего каскада.
Зададимся С3 10 5 ф . Тогда
max
R7 69,3 кОм; R8 10 кОм; Rвых
8,73 кОм. Подберём из стандартного ряда
следующие значения: R7 68 кОм; R8 10 кОм.
Коэффициент усиления усилителя DA3 в соответствии с (8.24) равен:
Kу 1
Rос
1
1
7,94 .
R02 kк2 0,126
(8.32)
Из (8.32) получим соотношение между сопротивлениями Rос и R9= R02:
Rос=6,94 R02.
(8.33)
max
Сопротивление R02 выберем из условия R02 R01 10Rвых
, т.е.
R02 10 8,73 100 0 .
Выберем R02=10 кОм. Тогда Rос=6,9410=69,4 кОм. Ближайшее значение из
стандартного ряда Rос=68 кОм.
Таким образом, действительные значения параметров R-C цепочки:
124
Tк2 R7C3 68000 10 5 0,68 с; Tк4
R8
10
Tк2
0,68 0,0872 с;
R8 R7
68 10
T
0,0872
R
68
kк2 к4
0,128; K у 1 ос 1
7,8 (kк2 K у 0,9984 1).
Tк2
0,68
R02
10
Электрическая
схема
последнего
каскада
(8.34)
корректирующего
устройства приведена на рис.8.17 (следует заметить, что усилитель DA4
может быть исключён из электрической схемы, а выход последнего
каскада может быть соединён с высокоомным входом усилителя
мощности,
формирующего
сигнал
управления
исполнительным
двигателем).
С4
U7
U8
U9
R1
Rв
0
DA4
R1
н
R0
1
1
E
I1 0
U6
Rос
Iос
R12=
R02
I Iос
Рис.8.17. Электрическая схема сопряжения выхода
дифференцирующей R-C цепочки четвёртого каскада КУ с
входом усилителя последующего каскада.
Расчёт
параметров
параметров
последнего
предыдущего
каскада.
дифференцирующей R-C цепочки [5]:
125
каскада
аналогичен
Передаточная
расчёту
функция
W3 p kк 3
Tк5 p 1
,
Tк6 p 1
(8.35)
T
Tк5
где Tк5 0,0078 с; Tк6 0,0028 с; kк3 к6 0,359 .
Полагая Rвн=0, R0, получим:
R11
Tк5 .
R11 R10
(8.36)
Tк5
Tк5Tк6
; R11
.
Tк5 Tк6 C4
C4
(8.37)
Tк5 R10 C 4 ; Tк6
Из (8.36) определим R10 и R11:
R10
При значениях Tк6 0,0028 ; Tк5 0,0078 получим:
R10
0,0078
0,0078 0,0028 0,0044
; R11
.
C4
0,005C4
C4
(8.38)
max
Найдём сопротивление Rвых
:
max
Rвых
R10 R11
0,0028
.
R10 R11
С4
max
2,8 кОм.
Зададимся С4 10 6 ф . Тогда R10 7,8 кОм; R11 4,4 кОм; Rвых
Подберём из стандартного ряда следующие значения:
R10 7,5 кОм; R11 4,3 кОм.
Действительные
значения
постоянных
времени
и
передаточного
коэффициента kк3 будут:
Tк5 R10 C 4 0,0075 с; Tк6
R11
4,3
Tк5
0,0075 0,0027 с;
R11 R10
11,8
(8.39)
T
k к3 к6 0,36.
Tк5
Коэффициент усиления усилителя DA4 в соответствии равен:
Kу 1
Rос
1
1
2,78. .
R02 kк3 0,36
(8.40)
Из (8.40) получим соотношение между сопротивлениями Rос и R12= R02:
Rос=1,78R02 .
(8.41)
126
max
Сопротивление R02 выберем из условия R02 R01 10Rвых
, т.е.
R02 10 2,8 100 0 .
Выберем R02=10 кОм. Тогда Rос=1,7810=17,8 кОм. Ближайшее значение из
стандартного ряда Rос=18 кОм.
Действительное значение коэффициента усиления Kу:
Kу 1
В
Rос
18
1
2,8 (kк3 K у 0,36 2,8 1,008 1).
R02
10
результате
расчёта
получили
корректирующее
устройство
передаточной функцией:
2
2
Tk 3 p 1 Tk 2 p 1Tk 5 p 1
0,91 p 1 0,68 p 10,0075 p 1
Wку p
.
Tk1 p 12 Tk 4 p 12 Tk 6 p 1 4,21 p 12 0,0872 p 10,0027 p 1
127
с
Список литературы
1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического
управления/ Изд.4-е, перераб. и доп. - СПб.:Профессия, 2003.-752 с.
2. Пантелеев А.В.
Теория управления в примерах и задачах:
Учеб.пособие/А.В.Пантелеев, А.С.Бортаковский. – М.: Высш.шк.,
2003. – 583 с.:ил.
3. Куропаткин П.В.
Теория автоматического управления/ Учебн.пособие для
электротехн.специальностей вузов. М.: Высш.шк., 1973. – 528 с.
4. Теория автоматического управления. Ч.1. Теория линейных систем
автоматического управления. Под ред. А.А. Воронова. Учеб.пособие
для вузов. М.: Высш.шк., 1977. – 303 с.
5. Руководство по проектированию систем автоматического
управления: Учеб.пособие для студентов спец. «Автоматика и
телемеханика»/Бесекерский В.А., Власов В.Ф., Гомзин В.Н. и др.;
Под ред.В.А.Бесекерского. – М.: Высш.школа, 1983. – 296 с.
128
