Задания по теории множеств и бинарным отношениям

№1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и
определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
U2 \ (A B) = ( A U)  (U  B)
В 2х задачах необходимо выполнить работу над ошибками. Желтым выделенны
оставшиеся замечания, зеленым уже проверенные преподователем исправления.
№2 Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения
P1 Í A´ B, P2 Í B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2◦P1)–1. Выписать
области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить
матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным,
симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,2),(a,4),(b,3),(c,1),(c,2)};
P2 = {(1,1),(1,3),(2,4),(3,1),(3,4),(4,3),(4,2)}.
Решение
Графическое изображение P1
Графическое изображение P2
Найдем P = (P2◦P1)–1 .
Для начала определим произведение отношений P2◦P1. Для этого представим в
графическом изображении P1 и P2 в виде параллельных прямых, а отношения между
элементами в виде стрелок.
Просматриваем возможные пути, ведущие от элементов множества A к элементам
множества B2 через элементы множества B, найдем композицию отношений:
P1  P2  (a,2)(a,4)(a,3)(b,1)(b,4)(c,1)(c,3)(c,4)
Тогда
P1  P2  (2, a)(4, a)(3, a)(1, b)(4, b)(1, c)(3, c)(4, c)
Это можно представить графически таким образом, поменяв направления стрелок на
противоположное и просматривать возможные пути, ведущие от элементов множества B2
к элементам множества A, через элементы множества B.
Область определения P1
 ( P1 )  a, b, c
Область значений P1
 ( P1 )  1,2,3,4
Область определения P2
 ( P2 )  1,2,3,4
Область значений P2
 ( P2 )  1,2,3,4
Область определения P
 ( P)  a, b, c
Область значений P
 ( P )  1,2,3,4
Построить матрицу [P2],
1

0
P2   
1

0

0 1 0

0 0 1
0 0 1

1 1 0 
Проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным,
антисимметричным, транзитивным.
Отношение P2 не рефлексивно, так как на главной диагонали есть нулевые элементы.
Проверим отношение P2 на симметричность, т. е
P21  P2
или
1

0
P2   
1

0

P2   P2 T
0 1 0
1


0 0 1
0
T



P

2
1
0 0 1


0
1 1 0 

0 1 0

0 0 1
0 0 1

1 1 0 
Поскольку матрица равна транспонированной матрице, то отношение симметрично.
Проверим на антисимметричность, для этого возьмем транспонированную матрицу и
вычислим
1

0
T
1
P2  P2  P2   P2   
1

0



0 1 0  1

0 0 1  0
0 0 1  1

1 1 0  0
0 1 0 1
 
0 0 1 0

0 0 1 1
 
1 1 0   1
0 1 1

1 1 0
1 1 0

0 0 1 
Произведение поэлементное, логическое. (это уже исправленно)
1

0
T
1
P2  P2  P2   P2   
1

0



0 1 0  1

0 0 1  0
0 0 1  1

1 1 0  0
0 1 0 1
 
0 0 1 0

0 0 1 1
 
1 1 0   0
0 1 0

0 0 1
0 0 1

1 1 0 
Отношение не антисимметрично, потому что элементы вне главной диагонали не равны
нулю.
Проверим транзитивность
P2 P2   [ P2 ]
1

0
P2 P2   
1

0

Так как
0 1 0  1

0 0 1  0
0 0 1  1

1 1 0  0
0 1 0 1
 
0 0 1 0

0 0 1 1
 
1 1 0   1
0 1 1

1 1 0
1 1 0

0 0 1 
P2 P2   [ P2 ] отношение P2 не транзитивно.
№3 Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область
значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным,
симметричным, антисимметричным, транзитивным. P  Z2, P = {(x,y) | x2 + y2 = 1}.
Область определения (P)={-1;1}
Числа ЦЕЛЫЕ!!! Значения будут дискретные!
Область значения (P)={1;0}+
Отношение Р является не рефлексивным так как
x
 1x  R 2
x
Отношение Р антисимметрично так как x 2  y 2  1  R 2 , то x  y
Отношение Р транзитивно так как
x2
 R2 ,
z
y2
x2 y2
 R2 

 R2
z
z
z
Отношение Р симметрично так как x 2  y 2  1  R 2 ,  x    y   1  R
Где исправления этой задачи? (После проверки были замечания выделенные желтым,
отправил решение которое ниже, в ответ получил вот этот вопрос…)
2
2
x2 + y2 = 1, это окружность. При данных условия это часть окружности
– дуга в I четверти координатной плоскости.
Y
X
Так как P  Z2 это множество всех положительных целых чисел (I
четверть координатной плоскости), то:
Область определения  P   0,1;
Область значений  P   0,1
Проверим по определению, является ли отношение P:
1) Рефлексивным. aPa  x 2  x 2  1 -- не рефлексивно.
2) Симметричным. aPb  x 2  y 2  1, bPa  y 2  x 2  1 -- симметрично.
3) Антисимметричным. aPb  x 2  y 2  1, bPa  y 2  x 2  1  x 2  y 2 -- не
антисимметрично.
4) Транзитивность.
aPb  x 2  y 2  1 Z 2 , bPc  y 2  c 2  1 Z 2 , aPc  x 2  z 2  1 Z 2 --
транзитивно.